Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9

TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP91Bài1.ChotamgiácABCcóbagócnhọnnộitiếpđườngtròn(O).CácđườngcaoAD,BE,CFcắtnhautạiHvàcắtđườngtròn(O)lầnlượttạiM,N,P.Chứngminhrằng:1.TứgiácCEHD,nộitiếp.2.BốnđiểmB,C,E,Fcùngnằmtrênmộtđườngtròn.3.AE.AC=AH.AD;AD.BC=BE.AC.4.HvàMđốixứngnhauquaBC.5.XácđịnhtâmđườngtrònnộitiếptamgiácDEF.Lờigiải:1.XéttứgiácCEHDtacó:CEH=900(VìBElàđườngcao)CDH=900(VìADlàđườngcao)=>CEH+CDH=1800MàCEHvàCDHlàhaigócđốicủatứgiácCEHD.DođóCEHDlàtứgiácnộitiếp2.Theogiảthiết:BElàđườngcao=>BEAC=>BEC=900.CFlàđườngcao=>CFAB=>BFC=900.NhưvậyEvàFcùngnhìnBCdướimộtgóc900=>EvàFcùngnằmtrênđườngtrònđườngkínhBC.VậybốnđiểmB,C,E,Fcùngnằmtrênmộtđườngtròn.3.XéthaitamgiácAEHvàADCtacó:AEH=ADC=900;Alàgócchung=>AEHADC=>ACAHADAE=>AE.AC=AH.AD.*XéthaitamgiácBECvàADCtacó:BEC=ADC=900;Clàgócchung=>BECADC=>ACBCADBE=>AD.BC=BE.AC.4.TacóC1=A1(vìcùngphụvớigócABC)C2=A1(vìlàhaigócnộitiếpcùngchắncungBM)=>C1=C2=>CBlàtiaphângiáccủagócHCM;lạicóCBHM=>CHMcântạiC=>CBcũnglàđươngtrungtrựccủaHMvậyHvàMđốixứngnhauquaBC.5.TheochứngminhtrênbốnđiểmB,C,E,Fcùngnằmtrênmộtđườngtròn=>C1=E1(vìlàhaigócnộitiếpcùngchắncungBF)CũngtheochứngminhtrênCEHDlàtứgiácnộitiếpC1=E2(vìlàhaigócnộitiếpcùngchắncungHD)E1=E2=>EBlàtiaphângiáccủagócFED.ChứngminhtươngtựtacũngcóFClàtiaphângiáccủagócDFEmàBEvàCFcắtnhautạiHdođóHlàtâmđườngtrònnộitiếptamgiácDEF.Bài2.ChotamgiáccânABC(AB=AC),cácđườngcaoAD,BE,cắtnhautạiH.GọiOlàtâmđườngtrònngoạitiếptamgiácAHE.1.ChứngminhtứgiácCEHDnộitiếp.2.BốnđiểmA,E,D,Bcùngnằmtrênmộtđườngtròn.3.ChứngminhED=21BC.4.ChứngminhDElàtiếptuyếncủađườngtròn(O).5.TínhđộdàiDEbiếtDH=2Cm,AH=6Cm.Lờigiải:1.XéttứgiácCEHDtacó:CEH=900(VìBElàđườngcao) TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP92CDH=900(VìADlàđườngcao)=>CEH+CDH=1800MàCEHvàCDHlàhaigócđốicủatứgiácCEHD.DođóCEHDlàtứgiácnộitiếp2.Theogiảthiết:BElàđườngcao=>BEAC=>BEA=900.ADlàđườngcao=>ADBC=>BDA=900.NhưvậyEvàDcùngnhìnABdướimộtgóc900=>EvàDcùngnằmtrênđườngtrònđườngkínhAB.VậybốnđiểmA,E,D,Bcùngnằmtrênmộtđườngtròn.3.TheogiảthiếttamgiácABCcântạiAcóADlàđườngcaonêncũnglàđườngtrungtuyến=>DlàtrungđiểmcủaBC.TheotrêntacóBEC=900.VậytamgiácBECvuôngtạiEcóEDlàtrungtuyến=>DE=21BC.4.VìOlàtâmđườngtrònngoạitiếptamgiácAHEnênOlàtrungđiểmcủaAH=>OA=OE=>tamgiácAOEcântạiO=>E1=A1(1).TheotrênDE=21BC=>tamgiácDBEcântạiD=>E3=B1(2)MàB1=A1(vìcùngphụvớigócACB)=>E1=E3=>E1+E2=E2+E3MàE1+E2=BEA=900=>E2+E3=900=OED=>DEOEtạiE.VậyDElàtiếptuyếncủađườngtròn(O)tạiE.5.TheogiảthiếtAH=6Cm=>OH=OE=3cm.;DH=2Cm=>OD=5cm.ÁpdụngđịnhlíPitagochotamgiácOEDvuôngtạiEtacóED2=OD2–OE2ED2=52–32ED=4cmBài3:ChonửađườngtrònđườngkínhAB=2R.TừAvàBkẻhaitiếptuyếnAx,By.QuađiểmMthuộcnửađườngtrònkẻtiếptuyếnthứbacắtcáctiếptuyếnAx,BylầnlượtởCvàD.CácđườngthẳngADvàBCcắtnhautạiN.1.ChứngminhAC+BD=CD.2.ChứngminhCOD=900.3.ChứngminhAC.BD=42AB.4.ChứngminhOC//BM5.ChứngminhABlàtiếptuyếncủađườngtrònđườngkínhCD.5.ChứngminhMNAB.6.XácđịnhvịtrícủaMđểchuvitứgiácACDBđạtgiátrịnhỏnhất.Lờigiải:1.Theotínhchấthaitiếptuyếncắtnhautacó:CA=CM;DB=DM=>AC+BD=CM+DM.MàCM+DM=CD=>AC+BD=CD2.Theotínhchấthaitiếptuyếncắtnhautacó:OClàtiaphângiáccủagócAOM;ODlàtiaphângiáccủagócBOM,màAOMvàBOMlàhaigóckềbù=>COD=900.3.TheotrênCOD=900nêntamgiácCODvuôngtạiOcóOMCD(OMlàtiếptuyến).ÁpdụnghệthứcgiữacạnhvàđườngcaotrongtamgiácvuôngtacóOM2=CM.DM,MàOM=R;CA=CM;DB=DM=>AC.BD=R2=>AC.BD=42AB.4.TheotrênCOD=900nênOCOD.(1)Theotínhchấthaitiếptuyếncắtnhautacó:DB=DM;lạicóOM=OB=R=>ODlàtrungtrựccủaBM=>BMOD.(2).Từ(1)Và(2)=>OC//BM(VìcùngvuônggócvớiOD).5.GọiIlàtrungđiểmcủaCDtacóIlàtâmđườngtrònngoạitiếptamgiácCODđườngkínhCDcóIOlàbánkính.TheotínhchấttiếptuyếntacóACAB;BDAB=>AC//BD=>tứgiácACDBlàhìnhthang.LạicóIlàtrungđiểmcủaCD;OlàtrungđiểmcủaAB=>IOlàđườngtrungbìnhcủahìnhthangACDBIO//AC,màACAB=>IOABtạiO=>ABlàtiếptuyếntạiOcủađườngtrònđườngkínhCD TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP936.TheotrênAC//BD=>BDACBNCN,màCA=CM;DB=DMnênsuyraDMCMBNCN=>MN//BDmàBDAB=>MNAB.7.(HD):TacóchuvitứgiácACDB=AB+AC+CD+BDmàAC+BD=CDnênsuyrachuvitứgiácACDB=AB+2CDmàABkhôngđổinênchuvitứgiácACDBnhỏnhấtkhiCDnhỏnhất,màCDnhỏnhấtkhiCDlàkhoảngcáchgiữAxvàBytứclàCDvuônggócvớiAxvàBy.KhiđóCD//AB=>MphảilàtrungđiểmcủacungAB.Bài4ChotamgiáccânABC(AB=AC),Ilàtâmđườngtrònnộitiếp,KlàtâmđườngtrònbàngtiếpgócA,OlàtrungđiểmcủaIK.1.ChứngminhB,C,I,Kcùngnằmtrênmộtđườngtròn.2.ChứngminhAClàtiếptuyếncủađườngtròn(O).3.Tínhbánkínhđườngtròn(O)BiếtAB=AC=20Cm,BC=24Cm.Lờigiải:(HD)1.VìIlàtâmđườngtrònnộitiếp,KlàtâmđườngtrònbàngtiếpgócAnênBIvàBKlàhaitiaphângiáccủahaigóckềbùđỉnhBDođóBIBKhayIBK=900.TươngtựtacũngcóICK=900nhưvậyBvàCcùngnằmtrênđườngtrònđườngkínhIKdođóB,C,I,Kcùngnằmtrênmộtđườngtròn.2.TacóC1=C2(1)(vìCIlàphângiáccủagócACH.C2+I1=900(2)(vìIHC=900).hoctoancapba.comI1=ICO(3)(vìtamgiácOICcântạiO)Từ(1),(2),(3)=>C1+ICO=900hayACOC.VậyAClàtiếptuyếncủađườngtròn(O).3.TừgiảthiếtAB=AC=20Cm,BC=24Cm=>CH=12cm.AH2=AC2–HC2=>AH=221220=16(cm)CH2=AH.OH=>OH=161222AHCH=9(cm)OC=2251292222HCOH=15(cm)Bài5:Chođườngtròn(O;R),từmộtđiểmAtrên(O)kẻtiếptuyếndvới(O).TrênđườngthẳngdlấyđiểmMbấtkì(MkhácA)kẻcáttuyếnMNPvàgọiKlàtrungđiểmcủaNP,kẻtiếptuyếnMB(Blàtiếpđiểm).KẻACMB,BDMA,gọiHlàgiaođiểmcủaACvàBD,IlàgiaođiểmcủaOMvàAB.1.ChứngminhtứgiácAMBOnộitiếp.2.ChứngminhnămđiểmO,K,A,M,Bcùngnằmtrênmộtđườngtròn.3.ChứngminhOI.OM=R2;OI.IM=IA2.4.ChứngminhOAHBlàhìnhthoi.5.ChứngminhbađiểmO,H,Mthẳnghàng.6.TìmquỹtíchcủađiểmHkhiMdichuyểntrênđườngthẳngdLờigiải:1.(HStựlàm).2.VìKlàtrungđiểmNPnênOKNP(quanhệđườngkínhVàdâycung)=>OKM=900.TheotínhchấttiếptuyếntacóOAM=900;OBM=900.nhưvậyK,A,BcùngnhìnOMdướimộtgóc900nêncùngnằmtrênđườngtrònđườngkínhOM.VậynămđiểmO,K,A,M,Bcùngnằmtrênmộtđườngtròn.3.TacóMA=MB(t/chaitiếptuyếncắtnhau);OA=OB=R=>OMlàtrungtrựccủaAB=>OMABtạiI. TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP94TheotínhchấttiếptuyếntacóOAM=900nêntamgiácOAMvuôngtạiAcóAIlàđườngcao.Ápdụnghệthứcgiữacạnhvàđườngcao=>OI.OM=OA2hayOI.OM=R2;vàOI.IM=IA2.4.TacóOBMB(tínhchấttiếptuyến);ACMB(gt)=>OB//AChayOB//AH.OAMA(tínhchấttiếptuyến);BDMA(gt)=>OA//BDhayOA//BH.=>TứgiácOAHBlàhìnhbìnhhành;lạicóOA=OB(=R)=>OAHBlàhìnhthoi.5.TheotrênOAHBlàhìnhthoi.=>OHAB;cũngtheotrênOMAB=>O,H,Mthẳnghàng(VìquaOchỉcómộtđườngthẳngvuônggócvớiAB).6.(HD)TheotrênOAHBlàhìnhthoi.=>AH=AO=R.VậykhiMdiđộngtrêndthìHcũngdiđộngnhưngluôncáchAcốđịnhmộtkhoảngbằngR.DođóquỹtíchcủađiểmHkhiMdichuyểntrênđườngthẳngdlànửađườngtròntâmAbánkínhAH=RBài6hoctoancapba.comChotamgiácABCvuôngởA,đườngcaoAH.VẽđườngtròntâmAbánkínhAH.GọiHDlàđườngkínhcủađườngtròn(A;AH).TiếptuyếncủađườngtròntạiDcắtCAởE.1.ChứngminhtamgiácBECcân.2.GọiIlàhìnhchiếucủaAtrênBE,ChứngminhrằngAI=AH.3.ChứngminhrằngBElàtiếptuyếncủađườngtròn(A;AH).4.ChứngminhBE=BH+DE.Lờigiải:(HD)1.AHC=ADE(g.c.g)=>ED=HC(1)vàAE=AC(2).VìABCE(gt),dođóABvừalàđườngcaovừalàđườngtrungtuyếncủaBEC=>BEClàtamgiáccân.=>B1=B22.HaitamgiácvuôngABIvàABHcócạnhhuyềnABchung,B1=B2=>AHB=AIB=>AI=AH.3.AI=AHvàBEAItạiI=>BElàtiếptuyếncủa(A;AH)tạiI.4.DE=IEvàBI=BH=>BE=BI+IE=BH+EDBài7Chođườngtròn(O;R)đườngkínhAB.KẻtiếptuyếnAxvàlấytrêntiếptuyếnđómộtđiểmPsaochoAP>R,từPkẻtiếptuyếntiếpxúcvới(O)tạiM.1.ChứngminhrằngtứgiácAPMOnộitiếpđượcmộtđườngtròn.2.ChứngminhBM//OP.3.ĐườngthẳngvuônggócvớiABởOcắttiaBMtạiN.ChứngminhtứgiácOBNPlàhìnhbìnhhành.4.BiếtANcắtOPtạiK,PMcắtONtạiI;PNvàOMkéodàicắtnhautạiJ.ChứngminhI,J,Kthẳnghàng.Lờigiải:1.(HStựlàm).2.TacóéABMnộitiếpchắncungAM;éAOMlàgócởtâmchắncungAM=>éABM=2AOM(1)OPlàtiaphângiácéAOM(t/chaitiếptuyếncắtnhau)=>éAOP=2AOM(2)Từ(1)và(2)=>éABM=éAOP(3)MàABMvàAOPlàhaigócđồngvịnênsuyraBM//OP.(4)3.XéthaitamgiácAOPvàOBNtacó:PAO=900(vìPAlàtiếptuyến);NOB=900(gtNOAB).=>PAO=NOB=900;OA=OB=R;AOP=OBN(theo(3))=>AOP=OBN=>OP=BN(5)Từ(4)và(5)=>OBNPlàhìnhbìnhhành(vìcóhaicạnhđốisongsongvàbằngnhau).4.TứgiácOBNPlàhìnhbìnhhành=>PN//OBhayPJ//AB,màONAB=>ONPJTacũngcóPMOJ(PMlàtiếptuyến),màONvàPMcắtnhautạiInênIlàtrựctâmtamgiácPOJ.(6)DễthấytứgiácAONPlàhìnhchữnhậtvìcóPAO=AON=ONP=900=>KlàtrungđiểmcủaPO(t/cđườngchéohìnhchữnhật).(6) TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP95AONPlàhìnhchữnhật=>éAPO=éNOP(sole)(7)Theot/chaitiếptuyếncắtnhauTacóPOlàtiaphângiácAPM=>APO=MPO(8).Từ(7)và(8)=>IPOcântạiIcóIKlàtrungtuyếnđôngthờilàđườngcao=>IKPO.(9)Từ(6)và(9)=>I,J,Kthẳnghàng.Bài8ChonửađườngtròntâmOđườngkínhABvàđiểmMbấtkìtrênnửađườngtròn(MkhácA,B).TrênnửamặtphẳngbờABchứanửađườngtrònkẻtiếptuyếnAx.TiaBMcắtAxtạiI;tiaphângiáccủagócIAMcắtnửađườngtròntạiE;cắttiaBMtạiFtiaBEcắtAxtạiH,cắtAMtạiK.1)Chứngminhrằng:EFMKlàtứgiácnộitiếp.2)Chứngminhrằng:AI2=IM.IB.3)ChứngminhBAFlàtamgiáccân.4)Chứngminhrằng:TứgiácAKFHlàhìnhthoi.5)XácđịnhvịtríMđểtứgiácAKFInộitiếpđượcmộtđườngtròn.Lờigiải:1.Tacó:AMB=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn)=>KMF=900(vìlàhaigóckềbù).AEB=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn)=>KEF=900(vìlàhaigóckềbù).=>KMF+KEF=1800.MàKMFvàKEFlàhaigócđốicủatứgiácEFMKdođóEFMKlàtứgiácnộitiếp.2.TacóIAB=900(vìAIlàtiếptuyến)=>AIBvuôngtạiAcóAMIB(theotrên).Ápdụnghệthứcgiữacạnhvàđườngcao=>AI2=IM.IB.3.TheogiảthiếtAElàtiaphângiácgócIAM=>IAE=MAE=>AE=ME(lído……)=>ABE=MBE(haigócnộitiếpchắnhaicungbằngnhau)=>BElàtiaphângiácgócABF.(1)TheotrêntacóéAEB=900=>BEAFhayBElàđườngcaocủatamgiácABF(2).Từ(1)và(2)=>BAFlàtamgiáccân.tạiB.4.BAFlàtamgiáccân.tạiBcóBElàđườngcaonênđồngthờilàđươngtrungtuyến=>ElàtrungđiểmcủaAF.(3)TừBEAF=>AFHK(4),theotrênAElàtiaphângiácgócIAMhayAElàtiaphângiácéHAK(5)Từ(4)và(5)=>HAKlàtamgiáccân.tạiAcóAElàđườngcaonênđồngthờilàđươngtrungtuyến=>ElàtrungđiểmcủaHK.(6).Từ(3),(4)và(6)=>AKFHlàhìnhthoi(vìcóhaiđườngchéovuônggócvớinhautạitrungđiểmcủamỗiđường).5.(HD).TheotrênAKFHlàhìnhthoi=>HA//FKhayIA//FK=>tứgiácAKFIlàhìnhthang.ĐểtứgiácAKFInộitiếpđượcmộtđườngtrònthìAKFIphảilàhìnhthangcân.AKFIlàhìnhthangcânkhiMlàtrungđiểmcủacungAB.Thậtvậy:MlàtrungđiểmcủacungAB=>ABM=MAI=450(t/cgócnộitiếp).(7)TamgiácABIvuôngtạiAcóABI=450=>éAIB=450.(8)Từ(7)và(8)=>IAK=AIF=450=>AKFIlàhìnhthangcân(hìnhthangcóhaigócđáybằngnhau).VậykhiMlàtrungđiểmcủacungABthìtứgiácAKFInộitiếpđượcmộtđườngtròn.Bài9Chonửađườngtròn(O;R)đườngkínhAB.KẻtiếptuyếnBxvàlấyhaiđiểmCvàDthuộcnửađườngtròn.CáctiaACvàADcắtBxlầnlượtởE,F(FởgiữaBvàE).1.ChứngminhAC.AEkhôngđổi.2.ChứngminhABD=DFB.3.ChứngminhrằngCEFDlàtứgiácnộitiếp. TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP96Lờigiải:1.CthuộcnửađườngtrònnênACB=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn)=>BCAE.ABE=900(Bxlàtiếptuyến)=>tamgiácABEvuôngtạiBcóBClàđườngcao=>AC.AE=AB2(hệthứcgiữacạnhvàđườngcao),màABlàđườngkínhnênAB=2RkhôngđổidođóAC.AEkhôngđổi.2.ADBcóADB=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn).=>ABD+BAD=900(vìtổngbagóccủamộttamgiácbằng1800)(1)ABFcóABF=900(BFlàtiếptuyến).=>AFB+BAF=900(vìtổngbagóccủamộttamgiácbằng1800)(2)Từ(1)và(2)=>ABD=DFB(cùngphụvớiBAD)3.TứgiácACDBnộitiếp(O)=>ABD+ACD=1800.ECD+ACD=1800(Vìlàhaigóckềbù)=>ECD=ABD(cùngbùvớiACD).TheotrênABD=DFB=>ECD=DFB.MàEFD+DFB=1800(Vìlàhaigóckềbù)nênsuyraECD+EFD=1800,mặtkhácECDvàEFDlàhaigócđốicủatứgiácCDFEdođótứgiácCEFDlàtứgiácnộitiếp.Bài10ChođườngtròntâmOđườngkínhABvàđiểmMbấtkìtrênnửađườngtrònsaochoAMSPA=900;AMB=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn)=>AMS=900.NhưvậyPvàMcùngnhìnASdướimộtgócbằng900nêncùngnằmtrênđườngtrònđườngkínhAS.VậybốnđiểmA,M,S,Pcùngnằmtrênmộtđườngtròn.2.VìM’đốixứngMquaABmàMnằmtrênđườngtrònnênM’cũngnằmtrênđườngtròn=>haicungAMvàAM’cósốđobằngnhau=>AMM’=AM’M(Haigócnộitiếpchắnhaicungbằngnhau)(1)CũngvìM’đốixứngMquaABnênMM’ABtạiH=>MM’//SS’(cùngvuônggócvớiAB)=>AMM’=AS’S;AM’M=ASS’(vìsoletrong)(2).=>Từ(1)và(2)=>AS’S=ASS’.TheotrênbốnđiểmA,M,S,Pcùngnằmtrênmộtđ/tròn=>ASP=AMP(nộitiếpcùngchắnAP)=>AS’P=AMP=>tamgiácPMS’cântạiP.3.TamgiácSPBvuôngtạiP;tamgiácSMS’vuôngtạiM=>B1=S’1(cùngphụvớiS).(3)TamgiácPMS’cântạiP=>S’1=M1(4)TamgiácOBMcântạiO(vìcóOM=OB=R)=>B1=M3(5).Từ(3),(4)và(5)=>M1=M3=>M1+M2=M3+M2màM3+M2=AMB=900nênsuyraM1+M2=PMO=900=>PMOMtạiM=>PMlàtiếptuyếncủađườngtròntạiMBài11.ChotamgiácABC(AB=AC).CạnhAB,BC,CAtiếpxúcvớiđườngtròn(O)tạicácđiểmD,E,F.BFcắt(O)tạiI,DIcắtBCtạiM.Chứngminh:1.TamgiácDEFcóbagócnhọn.2.DF//BC.3.TứgiácBDFCnộitiếp.4.CFBMCBBD TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP97Lờigiải:1.(HD)Theot/chaitiếptuyếncắtnhautacóAD=AF=>tamgiácADFcântạiA=>ADF=AFD<900=>sđcungDF<1800=>DEF<900(vìgócDEFnộitiếpchắncungDE).ChứngminhtươngtựtacóDFE<900;EDF<900.NhưvậytamgiácDEFcóbagócnhọn.2.TacóAB=AC(gt);AD=AF(theotrên)=>AD AFAB AC=>DF//BC.3.DF//BC=>BDFClàhìnhthanglạicóB=C(vìtamgiácABCcân)=>BDFClàhìnhthangcândođóBDFCnộitiếpđượcmộtđườngtròn.4.XéthaitamgiácBDMvàCBFTacóDBM=BCF(haigócđáycủatamgiáccân).BDM=BFD(nộitiếpcùngchắncungDI);CBF=BFD(vìsole)=>BDM=CBF.=>BDMCBF=>CFBMCBBDBài12Chođườngtròn(O)bánkínhRcóhaiđườngkínhABvàCDvuônggócvớinhau.TrênđoạnthẳngABlấyđiểmM(MkhácO).CMcắt(O)tạiN.ĐườngthẳngvuônggócvớiABtạiMcắttiếptuyếntạiNcủađườngtrònởP.Chứngminh:1.TứgiácOMNPnộitiếp.2.TứgiácCMPOlàhìnhbìnhhành.3.CM.CNkhôngphụthuộcvàovịtrícủađiểmM.4.KhiMdichuyểntrênđoạnthẳngABthìPchạytrênđoạnthẳngcốđịnhnào.Lờigiải:1.TacóOMP=900(vìPMAB);ONP=900(vìNPlàtiếptuyến).NhưvậyMvàNcùngnhìnOPdướimộtgócbằng900=>MvàNcùngnằmtrênđườngtrònđườngkínhOP=>TứgiácOMNPnộitiếp.2.TứgiácOMNPnộitiếp=>OPM=ONM(nộitiếpchắncungOM)TamgiácONCcântạiOvìcóON=OC=R=>ONC=OCN=>OPM=OCM.XéthaitamgiácOMCvàMOPtacóMOC=OMP=900;OPM=OCM=>CMO=POMlạicóMOlàcạnhchung=>OMC=MOP=>OC=MP.(1)TheogiảthiếtTacóCDAB;PMAB=>CO//PM(2).Từ(1)và(2)=>TứgiácCMPOlàhìnhbìnhhành.3.XéthaitamgiácOMCvàNDCtacóMOC=900(gtCDAB);DNC=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn)=>MOC=DNC=900lạicóClàgócchung=>OMCNDC=>CM COCD CN=>CM.CN=CO.CDmàCO=R;CD=2RnênCO.CD=2R2khôngđổi=>CM.CN=2R2khôngđổihaytíchCM.CNkhôngphụthuộcvàovịtrícủađiểmM.4.(HD)DễthấyOMC=DPO(c.g.c)=>ODP=900=>PchạytrênđườngthẳngcốđịnhvuônggócvớiCDtạiD.VìMchỉchạytrênđoạnthẳngABnênPchỉchạytrêndoạnthẳngA’B’songsongvàbằngAB.Bài13ChotamgiácABCvuôngởA(AB>AC),đườngcaoAH.TrênnửamặtphẳngbờBCchứađiểnA,VẽnửađườngtrònđườngkínhBHcắtABtạiE,NửađườngtrònđườngkínhHCcắtACtạiF.1.ChứngminhAFHElàhìnhchữnhật. TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP982.BEFClàtứgiácnộitiếp.3.AE.AB=AF.AC.4.ChứngminhEFlàtiếptuyếnchungcủahainửađườngtròn.Lờigiải:1.Tacó:éBEH=900(nộitiếpchắnnửcđườngtròn)=>éAEH=900(vìlàhaigóckềbù).(1)éCFH=900(nộitiếpchắnnửcđườngtròn)=>éAFH=900(vìlàhaigóckềbù).(2)éEAF=900(VìtamgiácABCvuôngtạiA)(3)Từ(1),(2),(3)=>tứgiácAFHElàhìnhchữnhật(vìcóbagócvuông).2.TứgiácAFHElàhìnhchữnhậtnênnộitiếpđượcmộtđườngtròn=>éF1=éH1(nộitiếpchắncungAE).TheogiảthiếtAHBCnênAHlàtiếptuyếnchungcủahainửađườngtròn(O1)và(O2)=>éB1=éH1(haigócnộitiếpcùngchắncungHE)=>éB1=éF1=>éEBC+éEFC=éAFE+éEFCmàéAFE+éEFC=1800(vìlàhaigóckềbù)=>éEBC+éEFC=1800mặtkhácéEBCvàéEFClàhaigócđốicủatứgiácBEFCdođóBEFClàtứgiácnộitiếp.3.XéthaitamgiácAEFvàACBtacóéA=900làgócchung;éAFE=éABC(theoChứngminhtrên)=>AEFACB=>AE AFAC AB=>AE.AB=AF.AC.*HDcách2:TamgiácAHBvuôngtạiHcóHEAB=>AH2=AE.AB(*)TamgiácAHCvuôngtạiHcóHFAC=>AH2=AF.AC(**)Từ(*)và(**)=>AE.AB=AF.AC4.TứgiácAFHElàhìnhchữnhật=>IE=EH=>IEHcântạiI=>éE1=éH1.O1EHcântạiO1(vìcóO1EvàO1Hcùnglàbánkính)=>éE2=éH2.=>éE1+éE2=éH1+éH2màéH1+éH2=éAHB=900=>éE1+éE2=éO1EF=900=>O1EEF.ChứngminhtươngtựtacũngcóO2FEF.VậyEFlàtiếptuyếnchungcủahainửađườngtròn.Bài14ChođiểmCthuộcđoạnthẳngABsaochoAC=10Cm,CB=40Cm.VẽvềmộtphíacủaABcácnửađườngtròncóđườngkínhtheothứtựlàAB,AC,CBvàcótâmtheothứtựlàO,I,K.ĐườngvuônggócvớiABtạiCcắtnửađườngtròn(O)tạiE.GọiM.NtheothứtựlàgiaođiểmcủaEA,EBvớicácnửađườngtròn(I),(K).1.ChứngminhEC=MN.2.Ch/minhMNlàtiếptuyếnchungcủacácnửađ/tròn(I),(K).3.TínhMN.4.TínhdiệntíchhìnhđượcgiớihạnbởibanửađườngtrònLờigiải:1.Tacó:éBNC=900(nộitiếpchắnnửađườngtròntâmK)=>éENC=900(vìlàhaigóckềbù).(1)éAMC=900(nộitiếpchắnnửcđườngtròntâmI)=>éEMC=900(vìlàhaigóckềbù).(2)éAEB=900(nộitiếpchắnnửađườngtròntâmO)hayéMEN=900(3)Từ(1),(2),(3)=>tứgiácCMENlàhìnhchữnhật=>EC=MN(tínhchấtđườngchéohìnhchữnhật)2.TheogiảthiếtECABtạiCnênEClàtiếptuyếnchungcủahainửađườngtròn(I)và(K)=>éB1=éC1(haigócnộitiếpcùngchắncungCN).TứgiácCMENlàhìnhchữnhậtnên=>éC1=éN3=>éB1=éN3.(4)LạicóKB=KN(cùnglàbánkính)=>tamgiácKBNcântạiK=>éB1=éN1(5)Từ(4)và(5)=>éN1=éN3màéN1+éN2=CNB=900=>éN3+éN2=MNK=900hayMNKNtạiN=>MNlàtiếptuyếncủa(K)tạiN.ChứngminhtươngtựtacũngcóMNlàtiếptuyếncủa(I)tạiM,VậyMNlàtiếptuyếnchungcủacácnửađườngtròn(I),(K). TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP993.TacóéAEB=900(nộitiếpchắnnửcđườngtròntâmO)=>AEBvuôngtạiAcóECAB(gt)=>EC2=AC.BCEC2=10.40=400=>EC=20cm.TheotrênEC=MN=>MN=20cm.4.TheogiảthiếtAC=10Cm,CB=40Cm=>AB=50cm=>OA=25cmTacóS(o)= .OA2= 252=625 ;S(I)=.IA2=.52=25;S(k)=.KB2=.202=400.TacódiệntíchphầnhìnhđượcgiớihạnbởibanửađườngtrònlàS=12(S(o)-S(I)-S(k))S=12(625 -25 -400)=12.200=100314(cm2)Bài15ChotamgiácABCvuôngởA.TrêncạnhAClấyđiểmM,dựngđườngtròn(O)cóđườngkínhMC.đườngthẳngBMcắtđườngtròn(O)tạiD.đườngthẳngADcắtđườngtròn(O)tạiS.1.ChứngminhABCDlàtứgiácnộitiếp.2.ChứngminhCAlàtiaphângiáccủagócSCB.3.GọiElàgiaođiểmcủaBCvớiđườngtròn(O).ChứngminhrằngcácđườngthẳngBA,EM,CDđồngquy.4.ChứngminhDMlàtiaphângiáccủagócADE.5.ChứngminhđiểmMlàtâmđườngtrònnộitiếptamgiácADE.Lờigiải:1.TacóéCAB=900(vìtamgiácABCvuôngtạiA);éMDC=900(gócnộitiếpchắnnửađườngtròn)=>CDB=900nhưvậyDvàAcùngnhìnBCdướimộtgócbằng900nênAvàDcùngnằmtrênđườngtrònđườngkínhBC=>ABCDlàtứgiácnộitiếp.2.ABCDlàtứgiácnộitiếp=>D1=C3(nộitiếpcùngchắncungAB).D1=C3=>SM EM=>C2=C3(haigócnộitiếpđườngtròn(O)chắnhaicungbằngnhau)=>CAlàtiaphângiáccủagócSCB.3.XétCMBTacóBACM;CDBM;MEBCnhưvậyBA,EM,CDlàbađườngcaocủatamgiácCMBnênBA,EM,CDđồngquy.4.TheotrênTacóSM EM=>D1=D2=>DMlàtiaphângiáccủagócADE.(1)5.TacóMEC=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn(O))=>MEB=900.TứgiácAMEBcóMAB=900;MEB=900=>MAB+MEB=1800màđâylàhaigócđốinêntứgiácAMEBnộitiếpmộtđườngtròn=>A2=B2.TứgiácABCDlàtứgiácnộitiếp=>A1=B2(nộitiếpcùngchắncungCD)=>A1=A2=>AMlàtiaphângiáccủagócDAE(2)Từ(1)và(2)TacóMlàtâmđườngtrònnộitiếptamgiácADETH2(Hìnhb)Câu2:ABC=CME(cùngphụACB);ABC=CDS(cùngbùADC)=>CME=CDS TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP910=>CE CS SM EM  =>SCM=ECM=>CAlàtiaphângiáccủagócSCB.Bài16ChotamgiácABCvuôngởA.vàmộtđiểmDnằmgiữaAvàB.ĐườngtrònđườngkínhBDcắtBCtạiE.CácđườngthẳngCD,AElầnlượtcắtđườngtròntạiF,G.Chứngminh:1.TamgiácABCđồngdạngvớitamgiácEBD.2.TứgiácADECvàAFBCnộitiếp.3.AC//FG.4.CácđườngthẳngAC,DE,FBđồngquy.Lờigiải:1.XéthaitamgiácABCvàEDBTacóBAC=900(vìtamgiácABCvuôngtạiA);DEB=900(gócnộitiếpchắnnửađườngtròn)=>DEB=BAC=900;lạicóABClàgócchung=>DEBCAB.2.TheotrênDEB=900=>DEC=900(vìhaigóckềbù);BAC=900(vìABCvuôngtạiA)hayDAC=900=>DEC+DAC=1800màđâylàhaigócđốinênADEClàtứgiácnộitiếp.*BAC=900(vìtamgiácABCvuôngtạiA);DFB=900(gócnộitiếpchắnnửađườngtròn)hayBFC=900nhưvậyFvàAcùngnhìnBCdướimộtgócbằng900nênAvàFcùngnằmtrênđườngtrònđườngkínhBC=>AFBClàtứgiácnộitiếp.3.TheotrênADEClàtứgiácnộitiếp=>E1=C1lạicóE1=F1=>F1=C1màđâylàhaigócsoletrongnênsuyraAC//FG.4.(HD)DễthấyCA,DE,BFlàbađườngcaocủatamgiácDBCnênCA,DE,BFđồngquytạiS.Bài17.ChotamgiácđềuABCcóđườngcaolàAH.TrêncạnhBClấyđiểmMbấtkì(MkhôngtrùngB.C,H);từMkẻMP,MQvuônggócvớicáccạnhAB.AC.1.ChứngminhAPMQlàtứgiácnộitiếpvàhãyxácđịnhtâmOcủađườngtrònngoạitiếptứgiácđó.2.ChứngminhrằngMP+MQ=AH.3.ChứngminhOHPQ.Lờigiải:1.TacóMPAB(gt)=>APM=900;MQAC(gt)=>AQM=900nhưvậyPvàQcùngnhìnBCdướimộtgócbằng900nênPvàQcùngnằmtrênđườngtrònđườngkínhAM=>APMQlàtứgiácnộitiếp.*VìAMlàđườngkínhcủađườngtrònngoạitiếptứgiácAPMQtâmOcủađườngtrònngoạitiếptứgiácAPMQlàtrungđiểmcủaAM.2.TamgiácABCcóAHlàđườngcao=>SABC=12BC.AH.TamgiácABMcóMPlàđườngcao=>SABM=12AB.MPTamgiácACMcóMQlàđườngcao=>SACM=12AC.MQTacóSABM+SACM=SABC=>12AB.MP+12AC.MQ=12BC.AH=>AB.MP+AC.MQ=BC.AHMàAB=BC=CA(vìtamgiácABCđều)=>MP+MQ=AH. TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP9113.TamgiácABCcóAHlàđườngcaonêncũnglàđườngphângiác=>HAP=HAQ=>HP HQ(tínhchấtgócnộitiếp)=>HOP=HOQ(t/cgócởtâm)=>OHlàtiaphângiácgócPOQ.MàtamgiácPOQcântạiO(vìOPvàOQcùnglàbánkính)nênsuyraOHcũnglàđườngcao=>OHPQBài18Chođườngtròn(O)đườngkínhAB.TrênđoạnthẳngOBlấyđiểmHbấtkì(HkhôngtrùngO,B);trênđườngthẳngvuônggócvớiOBtạiH,lấymộtđiểmMởngoàiđườngtròn;MAvàMBthứtựcắtđườngtròn(O)tạiCvàD.GọiIlàgiaođiểmcủaADvàBC.1.ChứngminhMCIDlàtứgiácnộitiếp.2.ChứngminhcácđườngthẳngAD,BC,MHđồngquytạiI.3.GọiKlàtâmđườngtrònngoạitiếptứgiácMCID,ChứngminhKCOHlàtứgiácnộitiếp.Lờigiải:1.Tacó:éACB=900(nộitiếpchắnnửcđườngtròn)=>éMCI=900(vìlàhaigóckềbù).éADB=900(nộitiếpchắnnửcđườngtròn)=>éMDI=900(vìlàhaigóckềbù).=>éMCI+éMDI=1800màđâylàhaigócđốicủatứgiácMCIDnênMCIDlàtứgiácnộitiếp.2.TheotrênTacóBCMA;ADMBnênBCvàADlàhaiđườngcaocủatamgiácMABmàBCvàADcắtnhautạiInênIlàtrựctâmcủatamgiácMAB.TheogiảthiếtthìMHABnênMHcũnglàđườngcaocủatamgiácMAB=>AD,BC,MHđồngquytạiI.3.OACcântạiO(vìOAvàOClàbánkính)=>A1=C4KCMcântạiK(vìKCvàKMlàbánkính)=>M1=C1.MàA1+M1=900(dotamgiácAHMvuôngtạiH)=>C1+C4=900=>C3+C2=900(vìgócACMlàgócbẹt)hayOCK=900.XéttứgiácKCOHTacóOHK=900;OCK=900=>OHK+OCK=1800màOHKvàOCKlàhaigócđốinênKCOHlàtứgiácnộitiếp.Bài19.Chođườngtròn(O)đườngkínhAC.TrênbánkínhOClấyđiểmBtuỳý(BkhácO,C).GọiMlàtrungđiểmcủađoạnAB.QuaMkẻdâycungDEvuônggócvớiAB.NốiCD,KẻBIvuônggócvớiCD.1.ChứngminhtứgiácBMDInộitiếp.2.ChứngminhtứgiácADBElàhìnhthoi.3.ChứngminhBI//AD.4.ChứngminhI,B,Ethẳnghàng.5.ChứngminhMIlàtiếptuyếncủa(O’).Lờigiải:1.éBIC=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn)=>éBID=900(vìlàhaigóckềbù);DEABtạiM=>éBMD=900=>éBID+éBMD=1800màđâylàhaigócđốicủatứgiácMBIDnênMBIDlàtứgiácnộitiếp.2.TheogiảthiếtMlàtrungđiểmcủaAB;DEABtạiMnênMcũnglàtrungđiểmcủaDE(quanhệđườngkínhvàdâycung)=>TứgiácADBElàhìnhthoivìcóhaiđườngchéovuônggócvớinhautạitrungđiểmcủamỗiđường.3.éADC=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn)=>ADDC;theotrênBIDC=>BI//AD.(1)4.TheogiảthiếtADBElàhìnhthoi=>EB//AD(2).Từ(1)và(2)=>I,B,Ethẳnghàng(vìquaBchỉcómộtđườngthẳngsongsongvớiADmàthôi.)5.I,B,EthẳnghàngnêntamgiácIDEvuôngtạiI=>IMlàtrungtuyến(vìMlàtrungđiểmcủaDE)=>MI=ME=>MIEcântạiM=>I1=E1;O’ICcântạiO’(vìO’CvàO’Icùnglàbánkính) TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP912=>I3=C1màC1=E1(CùngphụvớigócEDC)=>I1=I3=>I1+I2=I3+I2.MàI3+I2=BIC=900=>I1+I2=900=MIO’hayMIO’ItạiI=>MIlàtiếptuyếncủa(O’).Bài20.Chođườngtròn(O;R)và(O’;R’)cóR>R’tiếpxúcngoàinhautạiC.GọiACvàBClàhaiđườngkínhđiquađiểmCcủa(O)và(O’).DElàdâycungcủa(O)vuônggócvớiABtạitrungđiểmMcủaAB.GọigiaođiểmthứhaicủaDCvới(O’)làF,BDcắt(O’)tạiG.Chứngminhrằng:1.TứgiácMDGCnộitiếp.2.BốnđiểmM,D,B,Fcùngnằmtrênmộtđườngtròn3.TứgiácADBElàhìnhthoi.4.B,E,Fthẳnghàng5.DF,EG,ABđồngquy.6.MF=1/2DE.7.MFlàtiếptuyếncủa(O’).Lờigiải:1.éBGC=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn)=>éCGD=900(vìlàhaigóckềbù)TheogiảthiếtDEABtạiM=>éCMD=900=>éCGD+éCMD=1800màđâylàhaigócđốicủatứgiácMCGDnênMCGDlàtứgiácnộitiếp2.éBFC=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn)=>éBFD=900;éBMD=900(vìDEABtạiM)nhưvậyFvàMcùngnhìnBDdướimộtgócbằng900nênFvàMcùngnằmtrênđườngtrònđườngkínhBD=>M,D,B,Fcùngnằmtrênmộtđườngtròn.3.TheogiảthiếtMlàtrungđiểmcủaAB;DEABtạiMnênMcũnglàtrungđiểmcủaDE(quanhệđườngkínhvàdâycung)=>TứgiácADBElàhìnhthoivìcóhaiđườngchéovuônggócvớinhautạitrungđiểmcủamỗiđường.4.éADC=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn)=>ADDF;theotrêntứgiácADBElàhìnhthoi=>BE//ADmàADDFnênsuyraBEDF.TheotrênéBFC=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn)=>BFDFmàquaBchỉcómộtđườngthẳngvuônggócvớiDFdođoB,E,Fthẳnghàng.5.TheotrênDFBE;BMDEmàDFvàBMcắtnhautạiCnênClàtrựctâmcủatamgiácBDE=>ECcũnglàđườngcao=>ECBD;theotrênCGBD=>E,C,Gthẳnghàng.VậyDF,EG,ABđồngquy6.TheotrênDFBE=>DEFvuôngtạiFcóFMlàtrungtuyến(vìMlàtrungđiểmcủaDE)suyraMF=1/2DE(vìtrongtamgiácvuôngtrungtuyếnthuộccạnhhuyềnbằngnửacạnhhuyền).7.(HD)theotrênMF=1/2DE=>MD=MF=>MDFcântạiM=>D1=F1O’BFcântạiO’(vìO’BvàO’Fcùnglàbánkính)=>F3=B1màB1=D1(CùngphụvớiDEB)=>F1=F3=>F1+F2=F3+F2.MàF3+F2=BFC=900=>F1+F2=900=MFO’hayMFO’FtạiF=>MFlàtiếptuyếncủa(O’).Bài21.Chođườngtròn(O)đườngkínhAB.GọiIlàtrungđiểmcủaOA.VẽđườngtrontâmIđiquaA,trên(I)lấyPbấtkì,APcắt(O)tạiQ.1.Chứngminhrằngcácđườngtròn(I)và(O)tiếpxúcnhautạiA.2.ChứngminhIP//OQ.3.ChứngminhrằngAP=PQ.4.XácđịnhvịtrícủaPđểtamgiácAQBcódiệntíchlớnnhất.Lờigiải:1.TacóOI=OA–IAmàOAvàIAlầnlượtlàcácbánkínhcủađ/tròn(O)vàđườngtròn(I).Vậyđ/tròn(O)vàđườngtròn(I)tiếpxúcnhautạiA.2.OAQcântạiO(vìOAvàOQcùnglàbánkính)=>A1=Q1IAPcântạiI(vìIAvàIPcùnglàbánkính)=>A1=P1=>P1=Q1màđâylàhaigócđồngvịnênsuyraIP//OQ. TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP9133.APO=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn)=>OPAQ=>OPlàđườngcaocủaOAQmàOAQcântạiOnênOPlàđườngtrungtuyến=>AP=PQ.4.(HD)KẻQHABtacóSAQB=12AB.QH.màABlàđườngkínhkhôngđổinênSAQBlớnnhấtkhiQHlớnnhất.QHlớnnhấtkhiQtrùngvớitrungđiểmcủacungAB.ĐểQtrùngvớitrungđiểmcủacungABthìPphảilàtrungđiểmcủacungAO.ThậtvậyPlàtrungđiểmcủacungAO=>PIAOmàtheotrênPI//QO=>QOABtạiO=>QlàtrungđiểmcủacungABvàkhiđóHtrungvớiO;OQlớnnhấtnênQHlớnnhất.Bài22.ChohìnhvuôngABCD,điểmEthuộccạnhBC.QuaBkẻđườngthẳngvuônggócvớiDE,đườngthẳngnàycắtcácđườngthẳngDEvàDCtheothứtựởHvàK.1.ChứngminhBHCDlàtứgiácnộitiếp.2.TínhgócCHK.3.ChứngminhKC.KD=KH.KB4.KhiEdichuyểntrêncạnhBCthìHdichuyểntrênđườngnào?Lờigiải:1.TheogiảthiếtABCDlàhìnhvuôngnênBCD=900;BHDEtạiHnênBHD=900=>nhưvậyHvàCcùngnhìnBDdướimộtgócbằng900nênHvàCcùngnằmtrênđườngtrònđườngkínhBD=>BHCDlàtứgiácnộitiếp.2.BHCDlàtứgiácnộitiếp=>BDC+BHC=1800.(1)BHKlàgócbẹtnênKHC+BHC=1800(2).Từ(1)và(2)=>CHK=BDCmàBDC=450(vìABCDlàhìnhvuông)=>CHK=450.3.XétKHCvàKDBtacóCHK=BDC=450;Klàgócchung=>KHCKDB=>KC KHKB KD=>KC.KD=KH.KB.4.(HD)TaluôncóBHD=900vàBDcốđịnhnênkhiEchuyểnđộngtrêncạnhBCcốđịnhthìHchuyểnđộngtrêncungBC(EBthìHB;ECthìHC).Bài23.ChotamgiácABCvuôngởA.DựngởmiềnngoàitamgiácABCcáchìnhvuôngABHK,ACDE.1.ChứngminhbađiểmH,A,Dthẳnghàng.2.ĐườngthẳngHDcắtđườngtrònngoạitiếptamgiácABCtạiF,chứngminhFBClàtamgiácvuôngcân.3.ChobiếtABC>450;gọiMlàgiaođiểmcủaBFvàED,Chứngminh5điểmB,K,E,M,Ccùngnằmtrênmộtđườngtròn.4.ChứngminhMClàtiếptuyếncủađườngtrònngoạitiếptamgiácABC.Lờigiải:1.TheogiảthiếtABHKlàhìnhvuông=>BAH=450TứgiácAEDClàhìnhvuông=>CAD=450;tamgiácABCvuôngởA=>BAC=900=>BAH+BAC+CAD=450+900+450=1800=>bađiểmH,A,Dthẳnghàng.2.TacóBFC=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn)nêntamgiácBFCvuôngtạiF.(1).FBC=FAC(nộitiếpcùngchắncungFC)màtheotrênCAD=450hayFAC=450(2).Từ(1)và(2)suyraFBClàtamgiácvuôngcântạiF.3.TheotrênBFC=900=>CFM=900(vìlàhaigóckềbù);CDM=900(t/chìnhvuông). TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP914=>CFM+CDM=1800màđâylàhaigócđốinêntứgiácCDMFnộitiếpmộtđườngtrònsuyraCDF=CMF,màCDF=450(vìAEDClàhìnhvuông)=>CMF=450hayCMB=450.TacũngcóCEB=450(vìAEDClàhìnhvuông);BKC=450(vìABHKlàhìnhvuông).NhưvậyK,E,McùngnhìnBCdướimộtgócbằng450nêncùngnằmtrêncungchứagóc450dựngtrênBC=>5điểmB,K,E,M,Ccùngnằmtrênmộtđườngtròn.4.CBMcóB=450;M=450=>BCM=450hayMCBCtạiC=>MClàtiếptuyếncủađườngtrònngoạitiếptamgiácABC.Bài24.ChotamgiácnhọnABCcóB=450.VẽđườngtrònđườngkínhACcótâmO,đườngtrònnàycắtBAvàBCtạiDvàE.1.ChứngminhAE=EB.2.GọiHlàgiaođiểmcủaCDvàAE,ChứngminhrằngđườngtrungtrựccủađoạnHEđiquatrungđiểmIcủaBH.3.ChứngminhODlàtiếptuyếncủađườngtrònngoạitiếp∆BDE.Lờigiải:1.AEC=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn)=>AEB=900(vìlàhaigóckềbù);TheogiảthiếtABE=450=>AEBlàtamgiácvuôngcântạiE=>EA=EB.F1112//__KHIEDOCBA2.GọiKlàtrungđiểmcủaHE(1);IlàtrungđiểmcủaHB=>IKlàđườngtrungbìnhcủatamgiácHBE=>IK//BEmàAEC=900nênBEHEtạiE=>IKHEtạiK(2).Từ(1)và(2)=>IKlàtrungtrựccủaHE.VậytrungtrựccủađoạnHEđiquatrungđiểmIcủaBH.3.theotrênIthuộctrungtrựccủaHE=>IE=IHmàIlàtrungđiểmcủaBH=>IE=IB.ADC=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn)=>BDH=900(kềbùADC)=>tamgiácBDHvuôngtạiDcóDIlàtrungtuyến(doIlàtrungđiểmcủaBH)=>ID=1/2BHhayID=IB=>IE=IB=ID=>IlàtâmđườngtrònngoạitiếptamgiácBDEbánkínhID.TacóODCcântạiO(vìODvàOClàbánkính)=>D1=C1.(3)IBDcântạiI(vìIDvàIBlàbánkính)=>D2=B1.(4)TheotrêntacóCDvàAElàhaiđườngcaocủatamgiácABC=>HlàtrựctâmcủatamgiácABC=>BHcũnglàđườngcaocủatamgiácABC=>BHACtạiF=>AEBcóAFB=900.TheotrênADCcóADC=900=>B1=C1(cùngphụBAC)(5).Từ(3),(4),(5)=>D1=D2màD2+IDH=BDC=900=>D1+IDH=900=IDO=>ODIDtạiD=>ODlàtiếptuyếncủađườngtrònngoạitiếptamgiácBDE.Bài25.Chođườngtròn(O),BClàdâybấtkì(BC<2R).Kẻcáctiếptuyếnvớiđườngtròn(O)tạiBvàCchúngcắtnhautạiA.TrêncungnhỏBClấymộtđiểmMrồikẻcácđườngvuônggócMI,MH,MKxuốngcáccạnhtươngứngBC,AC,AB.GọigiaođiểmcủaBM,IKlàP;giaođiểmcủaCM,IHlàQ.1.ChứngminhtamgiácABCcân.2.CáctứgiácBIMK,CIMHnộitiếp.3.ChứngminhMI2=MH.MK.4.ChứngminhPQMI.Lờigiải:1.TheotínhchấthaitiếptuyếncắtnhautacóAB=AC=>ABCcântạiA.2.TheogiảthiếtMIBC=>MIB=900;MKAB=>MKB=900.=>MIB+MKB=1800màđâylàhaigócđối=>tứgiácBIMKnộitiếp*(ChứngminhtứgiácCIMHnộitiếptươngtựtứgiácBIMK)3.TheotrêntứgiácBIMKnộitiếp=>KMI+KBI=1800;tứgiácCHMInộitiếp=>HMI+HCI=1800.màKBI=HCI(vìtamgiácABCcântạiA)=>KMI=HMI(1).TheotrêntứgiácBIMKnộitiếp=>B1=I1(nộitiếpcùngchắncungKM);tứgiácCHMInộitiếp=>H1=C1(nộitiếpcùngchắncungIM).MàB1=C1(=1/2sđBM)=>I1=H1(2).Từ(1)và(2)=>MKIMIH=>MI MKMH MI=>MI2=MH.MK TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP9154.TheotrêntacóI1=C1;cũngchứngminhtươngtựtacóI2=B2màC1+B2+BMC=1800=>I1+I2+BMC=1800hayPIQ+PMQ=1800màđâylàhaigócđối=>tứgiácPMQInộitiếp=>Q1=I1màI1=C1=>Q1=C1=>PQ//BC(vìcóhaigócđồngvịbằngnhau).TheogiảthiếtMIBCnênsuyraIMPQ.Bài26.Chođườngtròn(O),đườngkínhAB=2R.VẽdâycungCDABởH.GọiMlàđiểmchínhgiữacủacungCB,IlàgiaođiểmcủaCBvàOM.KlàgiaođiểmcủaAMvàCB.Chứngminh:1.ABACKBKC2.AMlàtiaphângiáccủaCMD.3.TứgiácOHCInộitiếp4.ChứngminhđườngvuônggóckẻtừMđếnACcũnglàtiếptuyếncủađườngtròntạiM.Lờigiải:1.TheogiảthiếtMlàtrungđiểmcủaBC=>MB MC=>CAM=BAM(haigócnộitiếpchắnhaicungbằngnhau)=>AKlàtiaphângiáccủagócCAB=>ABACKBKC(t/ctiaphângiáccủatamgiác)2.(HD)TheogiảthiếtCDAB=>AlàtrungđiểmcủaCD=>CMA=DMA=>MAlàtiaphângiáccủagócCMD.3.(HD)TheogiảthiếtMlàtrungđiểmcủaBC=>OMBCtạiI=>OIC=900;CDABtạiH=>OHC=900=>OIC+OHC=1800màđâylàhaigócđối=>tứgiácOHCInộitiếp4.KẻMJACtacóMJ//BC(vìcùngvuônggócvớiAC).TheotrênOMBC=>OMMJtạiJsuyraMJlàtiếptuyếncủađườngtròntạiM.Bài27Chođườngtròn(O)vàmộtđiểmAởngoàiđườngtròn.Cáctiếptuyếnvớiđườngtròn(O)kẻtừAtiếpxúcvớiđườngtròn(O)tạiBvàC.GọiMlàđiểmtuỳýtrênđườngtròn(MkhácB,C),từMkẻMHBC,MKCA,MIAB.Chứngminh:1.TứgiácABOCnộitiếp.2.BAO=BCO.3.MIHMHK.4.MI.MK=MH2.Lờigiải: TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP9161.(HStựgiải)2.TứgiácABOCnộitiếp=>BAO=BCO(nộitiếpcùngchắncungBO).3.TheogiảthiếtMHBC=>MHC=900;MKCA=>MKC=900=>MHC+MKC=1800màđâylàhaigócđối=>tứgiácMHCKnộitiếp=>HCM=HKM(nộitiếpcùngchắncungHM).ChứngminhtươngtựtacótứgiácMHBInộitiếp=>MHI=MBI(nộitiếpcùngchắncungIM).MàHCM=MBI(=1/2sđBM)=>HKM=MHI(1).ChứngminhtươngtựtacũngcóKHM=HIM(2).Từ(1)và(2)=>HIMKHM.4.TheotrênHIMKHM=>MI MHMH MK=>MI.MK=MH2Bài28ChotamgiácABCnộitiếp(O).GọiHlàtrựctâmcủatamgiácABC;ElàđiểmđốixứngcủaHquaBC;FlàđiểmđốixứngcủaHquatrungđiểmIcủaBC.1.ChứngminhtứgiácBHCFlàhìnhbìnhhành.2.E,Fnằmtrênđườngtròn(O).3.ChứngminhtứgiácBCFElàhìnhthangcân.4.GọiGlàgiaođiểmcủaAIvàOH.ChứngminhGlàtrọngtâmcủatamgiácABC.Lờigiải:1.TheogiảthiếtFlàđiểmđốixứngcủaHquatrungđiểmIcủaBC=>IlàtrungđiểmBCvàHE=>BHCFlàhìnhbìnhhànhvìcóhaiđườngchéocắtnhautạitrungđiểmcủamỗiđường.2.(HD)TứgiácAB’HC’nộitiếp=>BAC+B’HC’=1800màBHC=B’HC’(đốiđỉnh)=>BAC+BHC=1800.TheotrênBHCFlàhìnhbìnhhành=>BHC=BFC=>BFC+BAC=1800=>TứgiácABFCnộitiếp=>Fthuộc(O).*HvàEđốixứngnhauquaBC=>BHC=BEC(c.c.c)=>BHC=BEC=>BEC+BAC=1800=>ABECnộitiếp=>Ethuộc(O).3.TacóHvàEđốixứngnhauquaBC=>BCHE(1)vàIH=IEmàIlàtrungđiểmcủacủaHF=>EI=1/2HE=>tamgiácHEFvuôngtạiEhayFEHE(2)Từ(1)và(2)=>EF//BC=>BEFClàhìnhthang.(3)TheotrênE(O)=>CBE=CAE(nộitiếpcùngchắncungCE)(4).TheotrênF(O)vàFEA=900=>AFlàđườngkínhcủa(O)=>ACF=900=>BCF=CAE(vìcùngphụACB)(5).Từ(4)và(5)=>BCF=CBE(6).Từ(3)và(6)=>tứgiácBEFClàhìnhthangcân.4.TheotrênAFlàđườngkínhcủa(O)=>OlàtrungđiểmcủaAF;BHCFlàhìnhbìnhhành=>IlàtrungđiểmcủaHF=>OIlàđườngtrungbìnhcủatamgiácAHF=>OI=1/2AH. TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP917TheogiảthiếtIlàtrungđiểmcủaBC=>OIBC(Quanhệđườngkínhvàdâycung)=>OIG=HAG(vìsoletrong);lạicóOGI=HGA(đốiđỉnh)=>OGIHGA=>GI OIGA HAmàOI=12AH=>12GIGAmàAIlàtrungtuyếncủa∆ABC(doIlàtrungđiểmcủaBC)=>Glàtrọngtâmcủa∆ABC.Bài29BClàmộtdâycungcủađườngtròn(O;R)(BC2R).ĐiểmAdiđộngtrêncunglớnBCsaochoOluônnằmtrongtamgiácABC.CácđườngcaoAD,BE,CFcủatamgiácABCđồngquytạiH.1.ChứngminhtamgiácAEFđồngdạngvớitamgiácABC.2.GọiA’làtrungđiểmcủaBC,ChứngminhAH=2OA’.3.GọiA1làtrungđiểmcủaEF,ChứngminhR.AA1=AA’.OA’.4.ChứngminhR(EF+FD+DE)=2SABCsuyravịtrícủaAđểtổngEF+FD+DEđạtgiátrịlớnnhất.Lờigiải:(HD)1.TứgiácBFECnộitiếp=>AEF=ACB(cùngbùBFE)AEF=ABC(cùngbùCEF)=>AEFABC.2.VẽđườngkínhAK=>KB//CH(cùngvuônggócAB);KC//BH(cùngvuônggócAC)=>BHKClàhìnhbìnhhành=>A’làtrungđiểmcủaHK=>OKlàđườngtrungbìnhcủaAHK=>AH=2OA’3.Ápdụngtínhchất:nếuhaitamgiácđồngdạngthìtỉsốgiữahiatrungtuyến,tỉsốgiữahaibánkínhcácđườngtrònngoạitiếpbằngtỉsốđồngdạng.tacó:AEFABC=>1''R AAR AA(1)trongđóRlàbánkínhđườngtrònngoạitiếpABC;R’làbánkínhđườngtrònngoạitiếpAEF;AA’làtrungtuyếncủaABC;AA1làtrungtuyếncủaAEF.TứgiácAEHFnộitiếpđườngtrònđườngkínhAHnênđâycũnglàđườngtrònngoạitiếpAEFTừ(1)=>R.AA1=AA’.R’=AA’2AH=AA’.2 '2A OVậyR.AA1=AA’.A’O(2)4.GọiB’,C’lầnlượtlàtrungđiểmcủaAC,AB,tacóOB’AC;OC’AB(bánkínhđiquatrungđiểmcủamộtdâykhôngquatâm)=>OA’,OB’,OC’lầnlượtlàcácđườngcaocủacáctamgiácOBC,OCA,OAB.SABC=SOBC+SOCA+SOAB=12(OA’.BC’+OB’.AC+OC’.AB)2SABC=OA’.BC+OB’.AC’+OC’.AB(3)Theo(2)=>OA’=R.1'AAAAmà1'AAAAlàtỉsốgiữa2trungtuyếncủahaitamgiácđồngdạngAEFvàABCnên1'AAAA=EFBC.Tươngtựtacó:OB’=R.FDAC;OC’=R.EDABThayvào(3)tađược2SABC=R(. . .EF FD EDBC AC ABBC AC AB )2SABC=R(EF+FD+DE)*R(EF+FD+DE)=2SABCmàRkhôngđổinên(EF+FD+DE)đạtgítrịlớnnhấtkhiSABC.TacóSABC=12AD.BCdoBCkhôngđổinênSABClớnnhấtkhiADlớnnhất,màADlớnnhấtkhiAlàđiểmchínhgiỡacủacunglớnBC. TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP918Bài30ChotamgiácABCnộitiếp(O;R),tiaphângiáccủagócBACcắt(O)tạiM.VẽđườngcaoAHvàbánkínhOA.1.ChứngminhAMlàphângiáccủagócOAH.2.GiảsửB>C.ChứngminhOAH=B-C.3.ChoBAC=600vàOAH=200.Tính:a)BvàCcủatamgiácABC.b)DiệntíchhìnhviênphângiớihạnbởidâyBCvàcungnhỏBCtheoRLờigiải:(HD)1.AMlàphângiáccủaBAC=>BAM=CAM=>BM CM=>MlàtrungđiểmcủacungBC=>OMBC;TheogiảthiếtAHBC=>OM//AH=>HAM=OMA(sole).MàOMA=OAM(vìtamgiácOAMcântạiOdocóOM=OA=R)=>HAM=OAM=>AMlàtiaphângiáccủagócOAH.2.VẽdâyBDOA=>AB AD=>ABD=ACB.TacóOAH=DBC(góccócạnhtươngứngvuônggóccùngnhọn)=>OAH=ABC-ABD=>OAH=ABC-ACBhayOAH=B-C.3.a)TheogiảthiếtBAC=600=>B+C=1200;theotrênBC=OAH=>B-C=200.=>0 00 0120 7020 50B C BB C C               b)Svp=SqBOC-SBOC=2 20. .120 1. 3.360 2 2R RR=2 2 2. . 3 .(4 3 3 )3 4 12R R R  Bài31ChotamgiácABCcóbagócnhọnnộitiếp(O;R),biếtBAC=600.1.TínhsốđogócBOCvàđộdàiBCtheoR.2.VẽđườngkínhCDcủa(O;R);gọiHlàgiaođiểmcủabađườngcaocủatamgiácABCChứngminhBD//AHvàAD//BH.3.TínhAHtheoR.Lờigiải:1.TheogiảthiếtBAC=600=>sđBC=1200(t/cgócnộitiếp)=>BOC=1200(t/cgócởtâm).*TheotrênsđBC=1200=>BClàcạnhcủamộttamgiácđềunộitiếp(O;R)=>BC=R3.2.CDlàđườngkính=>DBC=900hayDBBC;theogiảthiếtAHlàđườngcao=>AHBC=>BD//AH.ChứngminhtươngtựtacũngđượcAD//BH.3.TheotrênDBC=900=>DBCvuôngtạiBcóBC=R3;CD=2R.=>BD2=CD2–BC2=>BD2=(2R)2–(R3)2=4R2–3R2=R2=>BD=R.TheotrênBD//AH;AD//BH=>BDAHlàhìnhbìnhhành=>AH=BD=>AH=R.Bài32Chođườngtròn(O),đườngkínhAB=2R.MộtcáttuyếnMNquayquanhtrungđiểmHcủaOB.1.ChứngminhkhiMNdiđộng,trungđiểmIcủaMNluônnằmtrênmộtđườngtròncốđịnh.2.TừAkẻAxMN,tiaBIcắtAxtạiC.ChứngminhtứgiácCMBNlàhìnhbìnhhành.3.ChứngminhClàtrựctâmcủatamgiácAMN.4.KhiMNquayquanhHthìCdiđộngtrênđườngnào.5.ChoAM.AN=3R2,AN=R3.Tínhdiệntíchphầnhìnhtròn(O)nằmngoàitamgiácAMN.Lờigiải:(HD) TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP9191.IlàtrungđiểmcủaMN=>OIMNtạiI(quanhệđườngkínhvàdâycung)=>OIH=900.OHcốđịmhnênkhiMNdiđộngthìIcũngdiđộngnhưngluônnhìnOHcốđịnhdướimộtgóc900dođóIdiđộngtrênđườngtrònđườngkínhOH.VậykhiMNdiđộng,trungđiểmIcủaMNluônnằmtrênmộtđườngtròncốđịnh.2.TheogiảthiếtAxMN;theotrênOIMNtạiI=>OI//AxhayOI//ACmàOlàtrungđiểmcủaAB=>IlàtrungđiểmcủaBC,lạicóIlàtrungđiểmcủaMN(gt)=>CMBNlàhìnhbìnhhành(Vìcóhaiđườngchéocắtnhautạitrungđiểmcủamỗiđường).3.CMBNlàhìnhbìnhhành=>MC//BNmàBNAN(vìANB=900dolàgócnộitiếpchắnnửađườngtròn)=>MCAN;theotrênACMN=>ClàtrựctâmcủatamgiácAMN.4.TacóHlàtrungđiểmcủaOB;IlàtrungđiểmcủaBC=>IHlàđườngtungbìnhcủaOBC=>IH//OCTheogiảthiếtAxMNhayIHAx=>OCAxtạiC=>OCA=900=>CthuộcđườngtrònđườngkínhOAcốđịnh.VậykhiMNquayquanhHthìCdiđộngtrênđườngtrònđườngkínhOAcốđịnh.5.TacóAM.AN=3R2,AN=R3.=>AM=AN=R3=>AMNcântạiA.(1)XétABNvuôngtạiNtacóAB=2R;AN=R3=>BN=R=>ABN=600.ABN=AMN(nộitiếpcùngchắncungAN)=>AMN=600(2).Từ(1)và(2)=>AMNlàtamgiácđều=>SAMN=23 34R.=>S=S(O)-SAMN=2R-23 34R=2(4 3 34RBài33ChotamgiácABCnộitiếp(O;R),tiaphângiáccủagócBACcắtBCtạiI,cắtđườngtròntạiM.1.ChứngminhOMBC.2.ChứngminhMC2=MI.MA.3.KẻđườngkínhMN,cáctiaphângiáccủagócBvàCcắtđườngthẳngANtạiPvàQ.ChứngminhbốnđiểmP,C,B,Qcùngthuộcmộtđườngtròn.Lờigiải:1.AMlàphângiáccủaBAC=>BAM=CAM=>BM CM=>MlàtrungđiểmcủacungBC=>OMBC2.XétMCIvàMACcóMCI=MAC(haigócnộitiếpchắnhaicungbằngnhau);Mlàgócchung=>MCIMAC=>MC MIMA MC=>MC2=MI.MA.3.(HD)MAN=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn)=>P1=900–K1màK1làgócngoàicủatamgiácAKBnênK1=A1+B1=2 2A B (t/cphângiáccủamộtgóc)=>P1=900–(2 2A B ).(1) TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP920CQlàtiaphângiáccủagócACB=>C1=2C=12(1800-A-B)=900–(2 2A B ).(2).Từ(1)và(2)=>P1=C1hayQPB=QCBmàPvàCnằmcùngvềmộtnửamặtphẳngbờBQnêncùngnằmtrêncungchứagóc900–(2 2A B )dựngtrênBQ.VậybốnđiểmP,C,B,Qcùngthuộcmộtđườngtròn.Bài34ChotamgiácABCcân(AB=AC),BC=6Cm,chiềucaoAH=4Cm,nộitiếpđườngtròn(O)đườngkínhAA’.1.Tínhbánkínhcủađườngtròn(O).2.KẻđườngkínhCC’,tứgiácCAC’A’làhìnhgì?Tạisao?3.KẻAKCC’tứgiácAKHClàhìnhgì?Tạisao?4.Tínhdiệntíchphầnhìnhtròn(O)nằmngoàitamgiácABC.Lờigiải:1.(HD)VìABCcântạiAnênđườngkínhAA’củađườngtrònngoạitiếpvàđườngcaoAHxuấtpháttừđỉnhAtrùngnhau,tứclàAA’điquaH.=>ACA’vuôngtạiCcóđườngcaoCH=62 2BC=3cm;AH=4cm=>CH2=AH.A’H=>A’H=2 23 92, 54 4CHAH  =>AA’=>AA’=AH+HA’=4+2,5=6,59cm)=>R=AA’:2=6,5:2=3,25(cm).2.VìAA’vàCC’làhaiđườngkínhnêncắtnhautạitrungđiểmOcủamỗiđường=>ACA’C’làhìnhbìnhhành.LạicóACA’=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn)nênsuyratứgiácACA’C’làhìnhchữnhật.3.TheogiảthiếtAHBC;AKCC’=>KvàHcùngnhìnACdướimộtgócbằng900nêncùngnằmtrênđườngtrònđườngkínhAChaytứgiácACHKnộitiếp(1)=>C2=H1(nộitiếpcungchắncungAK);AOCcântạiO(vìOA=OC=R)=>C2=A2=>A2=H1=>HK//AC(vìcóhaigócsoletrongbằngnhau)=>tứgiácACHKlàhìnhthang(2).Từ(1)và(2)suyratứgiácACHKlàhìnhthangcân.Bài35Chođườngtròn(O),đườngkínhABcốđịnh,điểmInằmgiữaAvàOsaochoAI=2/3AO.KẻdâyMNvuônggócvớiABtạiI,gọiClàđiểmtuỳýthuộccunglớnMNsaochoCkhôngtrùngvớiM,NvàB.NốiACcắtMNtạiE.1.ChứngminhtứgiácIECBnộitiếp.2.ChứngminhtamgiácAMEđồngdạngvớitamgiácACM.3.ChứngminhAM2=AE.AC.4.ChứngminhAE.AC-AI.IB=AI2.5.HãyxácđịnhvịtrícủaCsaochokhoảngcáchtừNđếntâmđườngtrònngoạitiếptamgiácCMElànhỏnhất.Lờigiải:1.TheogiảthiếtMNABtạiI=>EIB=900;ACBnộitiếpchắnnửađườngtrònnênACB=900hayECB=900=>EIB+ECB=1800màđâylàhaigócđốicủatứgiácIECBnêntứgiácIECBlàtứgiácnộitiếp.2.TheogiảthiếtMNAB=>AlàtrungđiểmcủacungMN=>AMN=ACM(haigócnộitiếpchắnhaicungbằngnhau)hayAME=ACM.LạithấyCAMlàgócchungcủahaitamgiácAMEvàAMCdođótamgiácAMEđồngdạngvớitamgiácACM.3.TheotrênAMEACM=>AM AEAC AM=>AM2=AE.AC TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP9214.AMB=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn);MNABtạiI=>AMBvuôngtạiMcóMIlàđườngcao=>MI2=AI.BI(hệthứcgiữacạnhvàđườngcaotrongtamgiácvuông).ÁpdụngđịnhlíPitagotrongtamgiácAIMvuôngtạiItacóAI2=AM2–MI2=>AI2=AE.AC-AI.BI.5.TheotrênAMN=ACM=>AMlàtiếptuyếncủađườngtrònngoạitiếpECM;NốiMBtacóAMB=900,dođótâmO1củađườngtrònngoạitiếpECMphảinằmtrênBM.TathấyNO1nhỏnhấtkhiNO1làkhoảngcáchtừNđếnBM=>NO1BM.GọiO1làchânđườngvuônggóckẻtừNđếnBMtađượcO1làtâmđườngtrònngoạitiếpECMcóbánkínhlàO1M.DođóđểkhoảngcáchtừNđếntâmđườngtrònngoạitiếptamgiácCMElànhỏnhấtthìCphảilàgiaođiểmcủađườngtròntâmO1bánkínhO1Mvớiđườngtròn(O)trongđóO1làhìnhchiếuvuônggóccủaNtrênBM.Bài36ChotamgiácnhọnABC,KẻcácđườngcaoAD,BE,CF.GọiHlàtrựctâmcủatamgiác.GọiM,N,P,QlầnlượtlàcáchìnhchiếuvuônggóccủaDlênAB,BE,CF,AC.Chứngminh:1.CáctứgiácDMFP,DNEQlàhìnhchữnhật.2.CáctứgiácBMND;DNHP;DPQCnộitiếp.3.HaitamgiácHNPvàHCBđồngdạng.4.BốnđiểmM,N,P,Qthẳnghàng.Lờigiải:1.&2.(HStựlàm)3.TheochứngminhtrênDNHPnộitiếp=>N2=D4(nộitiếpcùngchắncungHP);HDCcóHDC=900(doAHlàđườngcao)HDPcóHPD=900(doDPHC)=>C1=D4(cùngphụvớiDHC)=>C1=N2(1)chứngminhtươngtựtacóB1=P1(2)Từ(1)và(2)=>HNPHCB4.TheochứngminhtrênDNMBnộitiếp=>N1=D1(nộitiếpcùngchắncungBM).(3)DM//CF(cùngvuônggócvớiAB)=>C1=D1(haigócđồngvị).(4)TheochứngminhtrênC1=N2(5)Từ(3),(4),(5)=>N1=N2màB,N,Hthẳnghàng=>M,N,Pthẳnghàng.(6)ChứngminhtươngtựtacungcóN,P,Qthẳnghàng.(7)Từ(6),(7)=>BốnđiểmM,N,P,QthẳnghàngBài37Chohaiđườngtròn(O)và(O’)tiếpxúcngoàitạiA.KẻtiếptuyếnchungngoàiBC,B(O),C(O’).TiếptuyếnchungtrongtạiAcắttiếptuyếnchungngoàiBCởI.1.ChứngminhcáctứgiácOBIA,AICO’nộitiếp.2.ChứngminhBAC=900.3.TínhsốđogócOIO’.4.TínhđộdàiBCbiếtOA=9cm,O’A=4cm.Lờigiải:1.(HStựlàm)2.TheotínhchấthaitiếptuyếncắtnhautacóIB=IA,IA=ICABCcóAI=21BC=>ABCvuôngtạiAhayBAC=9003.TheotínhchấthaitiếptuyếncắtnhautacóIOlàtiaphângiácBIA;I0’làtiaphângiácCIA.màhaigócBIAvàCIAlàhaigóckềbù=>I0I0’=>0I0’=9004.Theotrêntacó0I0’vuôngtạiIcóIAlàđườngcao(doAIlàtiếptuyếnchungnênAIOO’)=>IA2=A0.A0’=9.4=36=>IA=6=>BC=2.IA=2.6=12(cm) TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP922Bài38Chohaiđườngtròn(O);(O’)tiếpxúcngoàitạiA,BClàtiếptuyếnchungngoài,B(O),C(O’).TiếptuyếnchungtrongtạiAcắtiếptuyếnchungngoàiBCởM.GọiElàgiaođiểmcủaOMvàAB,FlàgiaođiểmcủaO’MvàAC.Chứngminh:1.ChứngminhcáctứgiácOBMA,AMCO’nộitiếp.2.TứgiácAEMFlàhìnhchữnhật.3.ME.MO=MF.MO’.4.OO’làtiếptuyếncủađườngtrònđườngkínhBC.5.BClàtiếptuyếncủađườngtrònđườngkínhOO’.Lờigiải:1.(HStựlàm)2.TheotínhchấthaitiếptuyếncắtnhautacóMA=MB=>MABcântạiM.LạicóMElàtiaphângiác=>MEAB(1).ChứngminhtươngtựtacũngcóMFAC(2).TheotínhchấthaitiếptuyếncắtnhautacũngcóMOvàMO’làtiaphângiáccủahaigóckềbùBMAvàCMA=>MOMO’(3).Từ(1),(2)và(3)suyratứgiácMEAFlàhìnhchữnhật3.TheogiảthiếtAMlàtiếptuyếnchungcủahaiđườngtròn=>MAOO’=>MAOvuôngtạiAcóAEMO(theotrênMEAB)MA2=ME.MO(4)TươngtựtacótamgiácvuôngMAO’cóAFMO’MA2=MF.MO’(5)Từ(4)và(5)ME.MO=MF.MO’4.ĐườngtrònđườngkínhBCcótâmlàMvìtheotrênMB=MC=MA,đườngtrònnàyđiquaAvàcoMAlàbánkính.TheotrênOO’MAtạiAOO’làtiếptuyếntạiAcủađườngtrònđườngkínhBC.5.(HD)GọiIlàtrungđiểmcủaOO’tacóIMlàđườngtrungbìnhcủahìnhthangBCO’O=>IMBCtạiM(*).TacungchứngminhđượcOMO’vuôngnênMthuộcđườngtrònđườngkínhOO’=>IMlàbánkínhđườngtrònđườngkínhOO’(**)Từ(*)và(**)=>BClàtiếptuyếncủađườngtrònđườngkínhOO’Bài39Chođườngtròn(O)đườngkínhBC,dấyADvuônggócvớiBCtạiH.GọiE,FtheothứtựlàchâncácđườngvuônggóckẻtừHđếnAB,AC.Gọi(I),(K)theothứtựlàcácđườngtrònngoạitiếptamgiácHBE,HCF.1.Hãyxácđịnhvịtrítươngđốicủacácđườngtròn(I)và(O);(K)và(O);(I)và(K).2.TứgiácAEHFlàhìnhgì?Vìsao?.3.ChứngminhAE.AB=AF.AC.4.ChứngminhEFlàtiếptuyếnchungcủahaiđườngtròn(I)và(K).5.XácđịnhvịtrícủaHđểEFcóđộdàilớnnhất.Lờigiải:1.(HD)OI=OB–IB=>(I)tiếpxúc(O)OK=OC–KC=>(K)tiếpxúc(O)IK=IH+KH=>(I)tiếpxúc(K)2.Tacó:éBEH=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn)=>éAEH=900(vìlàhaigóckềbù).(1)éCFH=900(nộitiếpchắnnửađườngtròn)=>éAFH=900(vìlàhaigóckềbù).(2)éBAC=900(nộitiếpchắnnửađườngtrònhayéEAF=900(3)Từ(1),(2),(3)=>tứgiácAFHElàhìnhchữnhật(vìcóbagócvuông).3.TheogiảthiếtADBCtạiHnênAHBvuôngtạiHcóHEAB(éBEH=900)=>AH2=AE.AB(*)TamgiácAHCvuôngtạiHcóHFAC(theotrênéCFH=900)=>AH2=AF.AC(**)Từ(*)và(**)=>AE.AB=AF.AC(=AH2) TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP9234.TheochứngminhtrêntứgiácAFHElàhìnhchữnhật,gọiGlàgiaođiểmcủahaiđườngchéoAHvàEFtacóGF=GH(tínhchấtđườngchéohìnhchữnhật)=>GFHcântạiG=>éF1=éH1.KFHcântạiK(vìcóKFvàKHcùnglàbánkính)=>éF2=éH2.=>éF1+éF2=éH1+éH2màéH1+éH2=éAHC=900=>éF1+éF2=éKFE=900=>KFEF.ChứngminhtươngtựtacũngcóIEEF.VậyEFlàtiếptuyếnchungcủahaiđườngtròn(I)và(K).e)TheochứngminhtrêntứgiácAFHElàhìnhchữnhật=>EF=AHOA(OAlàbánkínhđườngtròn(O)cóđộdàikhôngđổi)nênEF=OA<=>AH=OA<=>HtrùngvớiO.VậykhiHtrùngvớiOtúclàdâyADvuônggócvớiBCtạiOthìEFcóđộdàilớnnhất.Bài40ChonửađườngtrònđườngkínhAB=2R.TừAvàBkẻhaitiếptuyếnAx,By.TrênAxlấyđiểmMrồikẻtiếptuyếnMPcắtBytạiN.1.ChứngminhtamgiácMONđồngdạngvớitamgiácAPB.2.ChứngminhAM.BN=R2.3.TínhtỉsốAPBMONSSkhiAM=2R.4.TínhthểtíchcủahìnhdonửahìnhtrònAPBquayquanhcạnhABsinhra.Lờigiải:1.Theotínhchấthaitiếptuyếncắtnhautacó:OMlàtiaphângiáccủagócAOP;ONlàtiaphângiáccủagócBOP,màAOPvàBOPlàhaigóckềbù=>MON=900.haytamgiácMONvuôngtạiO.APB=900((nộitiếpchắnnửađườngtròn)haytamgiácAPBvuôngtạiP.TheotínhchấttiếptuyếntacóNBOB=>OBN=900;NPOP=>OPN=900=>OBN+OPN=1800màOBNvàOPNlàhaigócđối=>tứgiácOBNPnộitiếp=>OBP=PNOXéthaitamgiácvuôngAPBvàMONcóAPB=MON=900;OBP=PNO=>APBMON2.TheotrênMONvuôngtạiOcóOPMN(OPlàtiếptuyến).ÁpdụnghệthứcgiữacạnhvàđườngcaotrongtamgiácvuôngtacóOP2=PM.PMMàOP=R;AM=PM;BN=NP(tínhchấthaitiếptuyếncắtnhau)=>AM.BN=R23.TheotrênOP2=PM.PMhayPM.PM=R2màPM=AM=2R=>PM=2R=>PN=R2:2R=2R=>MN=MP+NP=2R+2R=52RTheotrênAPBMON=>MNAB=52R:2R=54=k(klàtỉsốđồngdạng).Vìtỉsốdiệntichgiữahaitamgiácđồngdạngbằngbìnhphươngtỉsốđồngdạngnêntacó:APBMONSS=k2=>APBMONSS=25 254 16   Bài41ChotamgiácđềuABC,OlàtrungđiểncủaBC.TrêncáccạnhAB,AClầnlượtlấycácđiểmD,EsaochoDOE=600.1)ChứngminhtíchBD.CEkhôngđổi.2)ChứngminhhaitamgiácBOD;OEDđồngdạng.TừđósuyratiaDOlàtiaphângiáccủagócBDE3)VẽđườngtròntâmOtiếpxúcvớiAB.ChứngminhrằngđườngtrònnàyluôntiếpxúcvớiDE.Lờigiải:1.TamgiácABCđều=>ABC=ACB=600(1);DOE=600(gt)=>DOB+EOC=1200(2).DBOcóDOB=600=>BDO+BOD=1200(3).Từ(2)và(3)=>BDO=COE(4)Từ(2)và(4)=>BODCEO=>BD BOCO CE=>BD.CE=BO.COmàOB= TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP924OC=Rkhôngđổi=>BD.CE=R2khôngđổi.2.TheotrênBODCEO=>BD ODCO OEmàCO=BO=>BD OD BD BOBO OE OD OE  (5)LạicóDBO=DOE=600(6).Từ(5)và(6)=>DBODOE=>BDO=ODE=>DOlàtiaphângiácBDE.3.TheotrênDOlàtiaphângiácBDE=>OcáchđềuDBvàDE=>OlàtâmđườngtròntiếpxúcvớiDBvàDE.VậyđườngtròntâmOtiếpxúcvớiABluôntiếpxúcvớiDEBài42ChotamgiácABCcântạiA.cócạnhđáynhỏhơncạnhbên,nộitiếpđườngtròn(O).TiếptuyếntạiBvàClầnlượtcắtAC,ABởDvàE.Chứngminh:1.BD2=AD.CD.2.TứgiácBCDEnộitiếp.3.BCsongsongvớiDE.Lờigiải:1.XéthaitamgiácBCDvàABDtacóCBD=BAD(Vìlàgócnộitiếpvàgócgiữatiếptuyếnvớimộtdâycùngchắnmộtcung),lạicóDchung=>BCDABD=>BD CDAD BD=>BD2=AD.CD.2.TheogiảthiếttamgiácABCcântạiA=>ABC=ACB=>EBC=DCBmàCBD=BCD(gócgiữatiếptuyếnvớimộtdâycùngchắnmộtcung)=>EBD=DCE=>BvàCnhìnDEdướicùngmộtgócdođóBvàCcùngnằmtrêncungtròndựngtrênDE=>TứgiácBCDEnộitiếp3.TứgiácBCDEnộitiếp=>BCE=BDE(nộitiếpcùngchắncungBE)màBCE=CBD(theotrên)=>CBD=BDEmàđâylàhaigócsoletrongnênsuyraBC//DE.Bài43Chođườngtròn(O)đườngkínhAB,điểmMthuộcđườngtròn.VẽđiểmNđốixứngvớiAquaM,BNcắt(O)tạiC.GọiElàgiaođiểmcủaACvàBM.1.ChứngminhtứgiácMNCEnộitiếp.2.ChứngminhNEAB.3.GọiFlàđiểmđốixứngvớiEquaM.ChứngminhFAlàtiếptuyếncủa(O).4.ChứngminhFNlàtiếptuyếncủađườngtròn(B;BA).Lờigiải:1.(HStựlàm)2.(HD)DễthấyElàtrựctâmcủatamgiácNAB=>NEAB.3.TheogiảthiếtAvàNđốixứngnhauquaMnênMlàtrungđiểmcủaAN;FvàExứngnhauquaMnênMlàtrungđiểmcủaEF=>AENFlàhìnhbìnhhành=>FA//NEmàNEAB TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP925=>FAABtạiA=>FAlàtiếptuyếncủa(O)tạiA.4.TheotrêntứgiácAENFlàhìnhbìnhhành=>FN//AEhayFN//ACmàACBN=>FNBNtạiN//__HEFCNMOBABANcóBMlàđườngcaođồngthờilàđườngtrungtuyến(doMlàtrungđiểmcủaAN)nênBANcântạiB=>BA=BN=>BNlàbánkínhcủađườngtròn(B;BA)=>FNlàtiếptuyếntạiNcủa(B;BA).Bài44ABvàAClàhaitiếptuyếncủađườngtròntâmObánkínhR(B,Clàtiếpđiểm).VẽCHvuônggócABtạiH,cắt(O)tạiEvàcắtOAtạiD.1.ChứngminhCO=CD.2.ChứngminhtứgiácOBCDlàhìnhthoi.3.GọiMlàtrungđiểmcủaCE,BmcắtOHtạiI.ChứngminhIlàtrungđiểmcủaOH.4.TiếptuyếntạiEvới(O)cắtACtạiK.ChứngminhbađiểmO,M,Kthẳnghàng.Lờigiải:1.TheogiảthiếtABvàAClàhaitiếptuyếncủađườngtròntâmO=>OAlàtiaphângiáccủaBOC=>BOA=COA(1)DIKMEHOCBAOBAB(ABlàtiếptuyến);CHAB(gt)=>OB//CH=>BOA=CDO(2)Từ(1)và(2)=>CODcântạiC=>CO=CD.(3)2.theotrêntacóCO=CDmàCO=BO(=R)=>CD=BO(4)lạicóOB//CHhayOB//CD(5)Từ(4)và(5)=>BOCDlàhìnhbìnhhành(6).Từ(6)và(3)=>BOCDlàhìnhthoi.3.MlàtrungđiểmcủaCE=>OMCE(quanhệđườngkínhvàdâycung)=>OMH=900.theotrêntacũngcóOBH=900;BHM=900=>tứgiácOBHMlàhìnhchữnhật=>IlàtrungđiểmcủaOH.4.MlàtrungđiểmcủaCE;KEvàKClàhaitiếptuyến=>O,M,Kthẳnghàng.Bài45ChotamgiáccânABC(AB=AC)nộitiếpđườngtròn(O).GọiDlàtrungđiểmcủaAC;tiếptuyếncủađườngtròn(O)tạiAcắttiaBDtạiE.TiaCEcắt(O)tạiF.1.ChứngminhBC//AE.2.ChứngminhABCElàhìnhbìnhhành.3.GọiIlàtrungđiểmcủaCFvàGlàgiaođiểmcủaBCvàOI.SosánhBACvàBGO.Lờigiải:1.(HStựlàm)2).XéthaitamgiácADEvàCDBtacóEAD=BCD(vìsoletrong)AD=CD(gt);ADE=CDB(đốiđỉnh)=>ADE=CDB=>AE=CB(1)TheotrênAE//CB(2).Từ(1)và(2)=>AECBlàhìnhbìnhhành..3)IlàtrungđiểmcủaCF=>OICF(quanhệđườngkínhvàdâycung).TheotrênAECBlàhìnhbìnhhành=>AB//EC=>OIABtạiK,=>BKGvuôngtạiK.TacungcóBHAvuôngtạiH=>BGK=BAH(cungphụvớiABH)màBAH=12BAC(doABCcânnênAHlàphângiác)=>BAC=2BGO.Bài46:Chođườngtròn(O)vàmộtđiểmPởngoàiđườngtròn.KẻhaitiếptuyếnPA,PB(A;Blàtiếpđiểm).TừAvẽtiasongsongvớiPBcắt(O)tạiC(CA).ĐoạnPCcắtđườngtròntạiđiểmthứhaiD.TiaADcắtPBtạiE. TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP926a.Chứngminh∆EAB~∆EBD.b.ChứngminhAElàtrungtuyếncủa∆PAB.HD:a)∆EAB~∆EBD(g.g)vì:BEAchungEAB=EBD(gócnộitiếpvàgóctạobởitiatiếptuyến…)EB EDEA EB EB2=EA.ED(1)*EPD=PCA(s.l.t);EAP=PCA(gócnộitiếpvàgóctạobởitiatiếptuyến…)EPD=EAP;PEAchung∆EPD~∆EAP(g.g)EP EDEA EP EP2=EA.ED(2)Từ1&2EB2=EP2EB=EPAElàtrungtuyến∆PAB.Bài47:Cho∆ABCvuôngởA.LấytrêncạnhACmộtđiểmD.DựngCEvuônggócBD.a.Chứngminh∆ABD~∆ECD.b.ChứngminhtứgiácABCElàtứgiácnộitiếp.c.ChứngminhFDvuônggócBC,trongđóFlàgiaođiểmcủaBAvàCE.d.ChoABC=600;BC=2a;AD=a.TínhAC;đườngcaoAHcủa∆ABCvàbánkínhđườngtrònngoạitiếptứgiácADEF.HD:a)∆ABD~∆ECD(g.g)b)tứgiácABCElàtứgiácnộitiếp(Quĩtíchcungchứagóc900)c)ChứngminhDlàtrựctâm∆CBF.d)AC=BC.sinABC=2a.sin600=2a.32=a3AB=BC.cosABC=2a.cos600=2a.12=aAH=AB.sinABC=a.sin600=a32;∆FKBvuôngtạiK,cóABC=600BFK=300AD=FD.sinBFKAD=FD.sin300a=FD.0,5FD=a:0,5=2a.Bài48:Cho∆ABCvuông(ABC=900;BC>BA)nộitiếptrongđườngtrònđưòngkínhAC.KẻdâycungBDvuônggócAC.HlàgiaođiểmACvàBD.TrênHClấyđiểmEsaochoEđốixứngvớiAquaH.ĐườngtrònđườngkínhECcắtBCtạiI(IC).a.ChứngminhCI CECB CAb.ChứngminhD;E;Ithẳnghàng.c.ChứngminhHIlàmộttiếptuyếncủađườngtrònđườngkínhEC.HD;a)AB//EI(cùngBC)CI CECB CA(đ/líTa-lét)b)chứngminhABEDlàhìnhthoiDE//ABmàEI//ABD,E,IcùngnằmtrênđườngthẳngđiquaE//ABD,E,Ithẳnghàng.c)EIO'=IEO'(vì∆EO’Icân;O’I=O’E=R(O’))IEO'=HED(đ/đ);∆BIDvuông;IHlàtrungtuyến∆HIDcânHIE=HDIPBAOCDECDABFHKEa2a600ABCDHIEOO’ TUYỂNTẬP80BÀITOÁNHÌNHHỌCLỚP927MàHDI+HED=900đpcm.Bài49:Chođườngtròn(O;R)vàmộtđườngthẳng(d)cốđịnhkhôngcắt(O;R).HạOH(d)(Hd).Mlàmộtđiểmthayđổitrên(d)(MH).TừMkẻ2tiếptuyếnMPvàMQ(P,Qlàtiếpđiểm)với(O;R).DâycungPQcắtOHởI;cắtOMởK.a.Chứngminh5điểmO,Q,H,M,Pcùngnằmtrên1đườngtròn.b.ChứngminhIH.IO=IQ.IPc.GiảsửPMQ=600.Tínhtỉsốdiệntích2tamgiác:∆MPQvà∆OPQ.HD:a)5điểmO,Q,H,M,Pcùngnằmtrên1đườngtròn(Dựavàoquĩtíchcungchứagóc900)b)∆OIP~∆QIH(g.g)IO IQIP IHIH.IO=IQ.IPc)∆vMKQcó:MK=KQ.tgMQK=KQ.tg600=PQ PQ 332 2.∆vOKQcó:OK=KQ.tgOQK=KQ.tg300=3 PQ 3 PQ 3KQ. .3 2 3 6 MPQOPQSS=PQ 32:PQ 36=3Bài50:Chonửađườngtròn(O),đườngkínhAB=2R.TrêntiađốicủatiaABlấyđiểmE(EA).TừE,A,Bkẻcáctiếptuyếnvớinửađườngtròn.TiếptuyếnkẻtừEcắthaitiếptuyếnkẻtừAvàBtheothứtựtạiCvàD.a.GọiMlàtiếpđiểmcủatiếptuyếnkẻtừEtớinửađườngtròn.ChứngminhtứgiácACMOnộitiếpđượctrongmộtđườngtròn.b.Chứngminh∆EAC~∆EBD,từđósuyraDM CMDE CE.c.GọiNlàgiaođiểmcủaADvàBC.ChứngminhMN//BD.d.Chứngminh:EA2=EC.EM–EA.AO.e.ĐặtAOC=α.TínhtheoRvàαcácđoạnACvàBD.ChứngtỏrằngtíchAC.BDchỉphụthuộcgiátrịcủaR,khôngphụthuộcvàoα.HD:a)ACMOnộitiếp(Dựavàoquĩtíchcungchứagóc900)b)AC//BD(cùngEB)∆EAC~∆EBDCE ACDE BD(1)màAC=CM;BD=MD(T/chaitiếptuyếncắtnhau)CE CMDE DM(2)DM CMDE CEc)AC//BD(cmt)