p1^4+p2^4+...+p31^4 chia hết cho 30=>p1^4+p2^4+...+p31^4 chia hết cho 2;3 và 5
Giả sử trong 31 số nguyên tố trên không có số nào chẵn
=> p1^4 chia 2 dư 1
P2^4 chia 2 dư 1
......
p31^4 chia 2 dư 1
=>p1^4+p2^4+...+p31^4 chia 2 dư 1 ( vô lí vì p1^4+p2^4+...+p31^4 chia hết cho 2)
=> điều g/s là sai => có một số chẵn
mà đó là 31 số nguyên tố p1<p2<p3<...<p31
=> p1 = 2 (1)

Giả sử không có số nào chia hết cho 3
=>p1^4; p2^4; p3^4;...; p31^4 chia 3 dư 1
=> p1^4+p2^4+...+p31^4 chia 3 dư 1 ( vô lí vì p1^4+p2^4+...+p31^4 chia hết cho 3)
=> điều g/s là sai => có một số chia hết cho 3
Mà mà đó là 31 số nguyên tố p1<p2<p3<...<p31
=>p2=3 (2)

Giả sử không có nào chia hết cho 5
=> p1^4; p2^4;...; p31^4 chia 5 dư 1( chứng minh giựa vào chữ số tận cùng hoặc đặt dạng 2k+1)

=>p1^4+p2^4+...+p31^4 chia 5 dư 1( vô lí vì p1^4+p2^4+...+p31^4 chia hết cho 5
=> điều giả sử là sai
=> có một số chia hết cho 5
mà đó là 31 số nguyên tố p1<p2<p3<...<p31
=>p3=5 (3)

Từ (1),(2),(3) => đpcm