Phần (a): Chứng minh D là phân giác của góc HAC
Trong tam giác ABC, ta có thông tin sau:
Góc vuông tại A: ∠BAC = 90°
Độ cao AH từ A đến BC
BD = BA
Chứng minh D là phân giác của góc HAC.
Bằng chứng:
Xét tam giác ABC.
Giả sử AD cắt BC tại D.
Chúng ta biết rằng BD = BA (đã cho).
Theo Định lý phân giác góc, ta có:
DCBD​=ACAB​
Vì BD = BA nên chúng ta có thể viết lại biểu thức trên như sau:
DCBA​=ACAB​
Nhân chéo:
BA⋅AC=AB⋅DC
Chia hai vế cho AC:
BA=ACAB⋅DC​
Nhưng AC = AH (vì AH là đường cao từ A đến BC).
Vì thế:
BA=ACAB⋅AH​
Vì AB = AC (cạnh huyền) nên ta có:
BA=AH
Do đó D là phân giác của góc HAC.
Phần (b): Chứng minh AK = AH
Vẽ DK vuông góc với AC tại K.
Ta biết D là phân giác của góc HAC (chứng minh ở phần (a)).
Do đó, ∠DAK = ∠CAK.
Vì ∠DAK + ∠CAK = 90° (do vuông góc) nên cả hai góc đều nhọn.
Do đó tam giác AKD là tam giác cân.
Do đó AK = AD = AH.
Phần ©: Chứng minh AB + AC < BC + AH
Chúng ta có:
AB + AC = BC (vì AB = AC nên cạnh huyền)
AH = AK (chứng minh ở phần (b))
Vì thế:
AB + AC < BC + AH