a) Chứng minh tứ giác OMEN nội tiếp được đường tròn.

Ta có: d⊥OA⇒∠NMO=900d⊥OA⇒∠NMO=900

NENE  là tiếp tuyến với (O)(O)  tại EE  nên OE⊥NE⇒∠NEO=900OE⊥NE⇒∠NEO=900

Tứ giác OMENOMEN có ∠NMO=∠NEO=900∠NMO=∠NEO=900

Nên OMENOMEN là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng)  (đpcm)

b) Nối NB cắt nửa đường tròn (O) tại C. Chứng minh NE2=NC.NBNE2=NC.NB.

Nối EE với C,EC,E với B.B.

Xét ΔNECΔNEC và ΔNBEΔNBE có:

∠Nchung∠Nchung

∠NBE=∠NEC∠NBE=∠NEC (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung ECEC)

⇒ΔNEC∼ΔNBE(g−g)⇒ΔNEC∼ΔNBE(g−g)

⇒NENB=NCNE⇒NENB=NCNE (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒NE2=NB.NC⇒NE2=NB.NC (đpcm)

c) Gọi H là giao điểm của AC và dd, F là giao điểm của tia EH và nửa đường tròn (O). Chứng minh ∠NEF=∠NOF∠NEF=∠NOF

Xét ΔNCHΔNCH và ΔNMBΔNMB có:

 ∠Nchung∠NCH=∠NMB=900⇒ΔNCH∼ΔNMB(g−g)∠Nchung∠NCH=∠NMB=900⇒ΔNCH∼ΔNMB(g−g)

⇒NCNM=NHNB⇒NCNM=NHNB (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒NC.NB=NH.NM⇒NC.NB=NH.NM

Mà NE2=NB.NC(cmt)NE2=NB.NC(cmt) nên NE2=NH.NMNE2=NH.NM ⇒NENM=NHNE⇒NENM=NHNE

Xét ΔNEHΔNEH và ΔNMEΔNME có:

∠NchungNENM=NHNE(cmt)⇒ΔNEH∼ΔNME(c−g−c)∠NchungNENM=NHNE(cmt)⇒ΔNEH∼ΔNME(c−g−c)

⇒∠NHE=∠NEM⇒∠NHE=∠NEM (các góc tương ứng)   (1)

Kẻ tiếp tuyến NF′NF′ với nửa đường tròn (O).(O).

Do NE=NF′NE=NF′  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒NF′2=NH.NM⇒NF′2=NH.NM ⇒NF′NH=NMNF′⇒NF′NH=NMNF′

Xét ΔNF′HΔNF′H và ΔNMF′ΔNMF′ có:

∠NchungNF′NH=NMNF′(cmt)⇒ΔNF′H∼ΔNMF′(c−g−c)∠NchungNF′NH=NMNF′(cmt)⇒ΔNF′H∼ΔNMF′(c−g−c)

⇒∠NHF′=∠NF′M⇒∠NHF′=∠NF′M (các góc tương ứng)   (2)

Lại có tứ giác OMENOMEN  nội tiếp (câu a) nên bốn điểm O,M,E,NO,M,E,N cùng thuộc một đường tròn.  (3)

Tứ giác OENF′OENF′ có ∠OEN+∠OF′N=900+900=1800∠OEN+∠OF′N=900+900=1800 nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 18001800)

Do đó bốn điểm O,E,N,F′O,E,N,F′ cùng thuộc một đường tròn.  (4)

Từ (3) và (4) suy ra 5 điểm O,M,E,N,F′O,M,E,N,F′  cùng thuộc một đường tròn.

⇒⇒ Tứ giác MENF′MENF′ nội tiếp.

⇒∠NEM+∠NF′M=1800⇒∠NEM+∠NF′M=1800 (tính chất)  (5)

Từ (1), (2) và (5) suy ra ⇒∠NHE+∠NHF′=∠NEM+∠NF′M=1800⇒∠NHE+∠NHF′=∠NEM+∠NF′M=1800

⇒E,H,F′⇒E,H,F′ thằng hàng hay F′F′ là giao điểm của EHEH với nửa đường tròn (O)(O)

⇒F′≡F⇒F′≡F

⇒⇒ Tứ giác NEOFNEOF nội tiếp

⇒∠NEF=∠NOF⇒∠NEF=∠NOF (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NFNF) (đpcm).