S₁ = 1 + 2 + 3 +....+ n = n(n+1)/2 (1)

S₂ = 1² + 2² + 3² + 4² + ...+ n²

ta có:

1³ = (1 + 0)³ = 1

2³ = (1 + 1)³ = 1 + 3.1 + 3.1² + 1³

3³ = (1 + 2)³ = 1 + 3.2 + 3.2² + 2³

...........

(1 + n)³ = 1 + 3.n + 3.n² + n³

cộng theo vế được:

(1 + n)³ = (n + 1) + 3(S₁) + 3(S₂) = (n + 1) + 3n(n+1)/2 + 3(S₂)

=> S₂ = [2(1 + n)³ - 2(n + 1) - 3n(n+1)]/6 = (n+1)[2(1 + 2n + n²) - 2 - 3n]/6

= (n + 1)(2n² + n )/6 = n(n + 1)(2n +1)/6

-----------

sử dụng qui nạp:

1² + 2² + 3² + 4² + ...+ n² = n(n+1)(2n+1)/6 (*)

(*) đúng khi n= 1

giả sử (*) đúng với n= k, ta có:

1² + 2² + 3² + 4² + ...+ k² = k(k+1)(2k+1)/6 (1)

ta cm (*) đúng với n = k +1, thật vậy từ (1) cho ta:

1² + 2² + 3² + 4² + ...+ k² + (k + 1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + (k + 1)²

= (k+1)[k(2k + 1)/6 + (k + 1)] = (k + 1)(2k² + k + 6k + 6)/6

= (k + 1)(2k² + 7k + 6)/6 = (k + 1)(2k² + 4k + 3k + 6)/6

= (k + 1)[2k(k +2)+ 3(k + 2)]/6 = (k + 1)(k + 2)(2k+ 3)/6

vậy (*) đúng với n = k + 1, theo nguyên lý qui nạp (*) đúng với mọi n thuộc N*