Xeˊt hiệu:

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{y.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}+\frac{x.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}-\frac{4xy}{xy.\left(x+y\right)}x1​+y1​−x+y4​=xy.(x+y)y.(x+y)​+xy.(x+y)x.(x+y)​−xy.(x+y)4xy​

=\frac{y^2+xy}{x^2y+xy^2}+\frac{x^2+xy}{x^2y+xy^2}-\frac{4xy}{x^2y+xy^2}=x2y+xy2y2+xy​+x2y+xy2x2+xy​−x2y+xy24xy​

=\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2y+xy^2}=\frac{\left(x-y\right)^2}{x^2y+xy^2}=x2y+xy2x2−2xy+y2​=x2y+xy2(x−y)2​

\text{Vì }\left(x-y\right)^2\ge0\text{ với mọi x;y và }x>0;y>0Vıˋ (x−y)2≥0 với mọi x;y vaˋ x>0;y>0

\text{nên: }\frac{\left(x-y\right)^2}{x^2y+xy^2}\ge0\text{ với mọi x;y hay }\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}\ge0\text{ với mọi x;y}neˆn: x2y+xy2(x−y)2​≥0 với mọi x;y hay x1​+y1​−x+y4​≥0 với mọi x;y

\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\text{ với mọi x;y}⇔x1​+y1​≥x+y4​ với mọi x;y