Bài 4:
1. Xét tứ giác BFHD có:
góc BFH= 90 độ; góc BDH=90 độ
=> góc BFH+ góc BDH=180 độ
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
=> tứ giác BFHD nội tiếp
=> góc FDH= góc FBH (2 góc nt cùng chắn cung FH)
Tương tự: tứ giác EHDC nội tiếp
=> góc EDH= góc ECH (2 góc nt cùng chắn cung FH)
Có góc FBH= góc ECH ( cùng phụ với góc BAC)
Suy ra: fóc FDH= góc EDH
=> DH là tia phân giác của góc FDE (1)
Chứng minh tương tự:
FH là tia phân giác của góc EFD (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác EFD (dpcm)

Bài 4:
2. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ tia tiếp tuyến AG tại tiếp điểm A của (O)
=> góc GAB= góc ACB
Tứ giác AEHF nội tiếp (tổng hai góc đối = 180 độ) suy ra góc AFE= góc AHE
Tứ giác EHDC ( ý 1) nội tiếp suy ra góc AHE= góc ECD
Suy ra góc AFE= góc ACB
=> góc GAB= góc AFE
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
=> AG//EF
Mà AG⊥AO
=> EF⊥AO(đpcm)

3. AO ⊥ EF => Diện tích tứ giác AEOF = 1/2. AO.EF
Tương tự: BO⊥DF
=> Diện tích tứ giác BDOF = 1/2. BO.DF
CO⊥DE
Diện tích tứ giác CDOE = 1/2. CO.DE
Suy ra:
Diện tích tam giác ABC
= Diện tích tứ giác AEOF+Diện tích tứ giác BDOF+Diện tích tứ giác CDOE
=1/2(AO.EF+BO.DF+CO.DE)
=1/2R.(EF+DF+DE)
Vậy chu vi tam giác DEF lớn nhất
<=> Diện tích tam giác ABC lớn nhất
<=> khoảng cách từ A đến BC lớn nhất
<=> A là điểm chính giữa của cung lớn BC.