a) Tứ giác BHCK có 2 đường chéo HK và BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường

Do đó tứ giác BHCK là hình bình hành

b) Tứ giác BHCK là hình bình hành

⇒BK∥CH

Mà CH⊥AB

⇒BK⊥AB (đpcm)

c) Gọi J=BC∩HI

Xét ΔBHI có BJ vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao nên ΔBHI cân đỉnh B

⇒BJà đường phân giác của ˆHBI

⇒ˆIBC=ˆHBC

mà ˆHBC=ˆKCB (hai góc ở vị trí so le trong do BH//CK)

Từ 2 điều trên ⇒ˆIBC=ˆKCB (*)

ΔHIKcó JM là đường trung bình của tam giác, nên JM//IK

Hay BC//IK⇒BIKC là hình thang (**)

Từ (*) và (**) suy ra BIKCà hình thang cân.

d) Tứ giác GHCKGHCK có GK∥HCGK∥HC

Do đó GHCKGHCK là hình thang

Để GHCKGHCK là hình thang cân thì ˆGHC=ˆKCHGHC^=KCH^

mà ˆKCH=ˆHBKKCH^=HBK^ (hai góc cùng bù ˆBHCBHC^ do BHCKBHCK là hình bình hành)

Từ hai điều trên ⇒ˆGHC=ˆHBK⇒GHC^=HBK^

ΔHJC:ˆHCJ=90o−ˆGHCΔHJC:HCJ^=90o−GHC^ (tổng ba góc trong tam giác bằng 180o180o)

ˆABH=ˆABK−ˆHBK=90o−ˆHBKABH^=ABK^−HBK^=90o−HBK^ (BK⊥ABBK⊥AB)

Từ 3 điều trên suy ra ˆHCJ=ˆABHHCJ^=ABH^

Mà ΔBCF:ˆFBC=90o−ˆHCJΔBCF:FBC^=90o−HCJ^

ΔABE:ˆEAB=90o−ˆABHΔABE:EAB^=90o−ABH^

Từ 3 điều trên ⇒ˆFBC=ˆEAB⇒FBC^=EAB^

hay ˆCBA=ˆCABCBA^=CAB^

⇒ΔABC⇒ΔABC cân đỉnh CC

ΔABCΔABC cân đỉnh CC thì GHCKGHCK là hình thang cân.