12+22 +32+42+...+992

Ta gọi tên biểu thức là A.

Ta có:

A=12+22 +32+42+...+992

A=1.1+2.2+3.3+4.4+...+99.99

A=1.(2-1)+2.(3-1)+3.(4-1)+4.(5-1)+...+99.(100-1)

A=1.2-1.1+2.3-2.1+3.4-3.1+4.5-4.1+...+99.100-99.1

A=1.2+2.3+3.4+4.5+...+99.100-1.1-2.1-3.1-4.1-...-99.1

A=(1.2+2.3+3.4+4.5+...+99.100)-(1.1+2.1+3.1+4.1+...+99.1)

A=(1.2+2.3+3.4+4.5+...+99.100)-(1+2+3+4+...+99)

Xét:

B=1.2+2.3+3.4+4.5+...+99.100

3B=3.(1.2+2.3+3.4+4.5+...+99.100)

3B=3.1.2+3.2.3+3.3.4+3.4.5+...+3.99.100

3B=1.2.3-0.1.2+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+4.5.6-3.4.5+...+99.100.101-98.99.100

3B=99.100.101-0.1.2

3B=99.101.100-0

3B=9999.100

3B=999900

B=999900:3

B=333300

Xét:

C=1+2+3+4+...+99

C=99+98+97+96+...+1

⇒C+C=(1+99)+(2+98)+(3+97)+(4+96)+...+(99+1)

2C=100+100+100+100+...+100

Có số số 100 là :

(99-1):1+1=99(số)

2C=99.100

2C=9900

C=9900:2

C=4950

A=(1.2+2.3+3.4+4.5+...+99.100)-(1+2+3+4+...+99)

A= B - C

A= 333300 - 4950

A= 328350

Vậy giá trị của 12+22 +32+42+...+992 là 328350

=1^2+2^2-3^2+4^2...+99^2
= ( 2^2 - 1^2 ) . ( 4^2 - 3^2 ) + ... + ( 99^2 - 98^2 )
= ( 2 - 1 ) . ( 1 + 2 ) + ( 4 - 3 ) . ( 3 + 4 ) + ... +  (99-98)(99+98)
= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 
= (99+100)/2
=99,5