Để chứng minh AB.AC = AI.AD, ta sử dụng định lí Ptolemy trong tam giác AIF. Ta có:

• IF là đường trung trực của BC do tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O)
• Vì O là tâm đường tròn nên IO song song với BC
• AH là đường cao của tam giác ABC nên I, H, O thẳng hàng

Áp dụng định lí Ptolemy trong tam giác AIF, ta được:
AI · BC = AF · IO + IF · AO
Vì IO song song với BC và I, H, O thẳng hàng nên IO = OH, ta có:
AI · BC = AF · OH + IF · AO
Vì O là tâm đường tròn nên OH bằng nữa đường kính, ta có:
OH = R = 1/2 · BC
Kết hợp với BE = CF, ta có:
AF = AD - FD = AD - BD = AD - BC/2
IF = BD - FD = BC/2 - FD
Vậy: AI · BC = (AD - BC/2) · BC/2 + (BC/2 - FD) · R
Ta có 
AI · BC = AD · BC/2 - FD · BC/2 + BC²/4 - FD · BC/2
AI · BC = BC²/4 + AD · BC/2 - FD · BC/2
Vì BD = DC, ta có FD = BC/2 - BD = BC/2 - DC
AI · BC = BC²/4 + AD · BC/2 - (BC/2 - DC) · BC/2
AI · BC = BC²/4 + AD · BC/2 - BC²/4 + DC · BC/2
AI · BC = AD · BC/2 + DC · BC/2
AI · BC = BC/2 · (AD + DC)
Vì AB và AC là các cạnh của tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) nên AB.AC = BC · AD