a ) Do DH⊥AC⇒ˆAHD=90o

Xét ΔABDvà ΔAHD có :
ˆBAD=ˆHAD ( AD là tia p/g )

AD là cạnh chung

ˆABD=ˆAHD(=90o)

nên ΔABD=ΔAHD(g.c.g)

b ) Gọi K là giao điểm của BH và AD 

Xét ΔBAKvà ΔHAK có :

AB = AH ( do ΔABD=ΔAHD)

ˆBAK=ˆHAK( AD là tia p/g )

AK là cạnh chung

nên ΔBAK=ΔHAK(c.g.c)

=> BK = HK  ( 1 )

=> ˆAKB+ˆAKH=180o ( hai góc kề bù )
     ˆAKB+ˆAKB=180o

    ˆAKB.2=180o

⇒ˆAKB=180o2=90o ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => AD là đường trung trực của BH 

c ) Xét ΔBDI và ΔHDCcó :

ˆDBI=ˆDHC(=90o)

BD = HD ( do ΔABD=ΔAHD )

ˆBDI=ˆHDC( hai góc đối đỉnh )

nên ΔBDI=ΔHDC(g.c.g)

=> DI = DC

=> ΔDIC cân tại D

e ) Gọi M là điểm AD cắt IC

Ta có : 

AI = AB + BI 

AC = AH + HC 

mà AB = AH ( ΔABD=ΔAHDΔ)

      BI = HC ( ΔBDI=ΔHDC )

=> AI = AC 

=> ΔAIC cân tại A 
 

Lại có : CB⊥AI=> CB là đường cao ứng với cạnh AI

             IH⊥AC=> IH là đường cao ứng với cạnh AC

=> AM là đường cao thứ ba ( hay AD )

=> AM ⊥⊥IC

=> AD⊥IC 
 

a có : tam giác DIC cân tại D 

=> ID = DC

Mà BD = HD (cmt)

=> BD = HD

Mà ta có BC = BD + DC

IH = ID + DH

=> BC = IH 

Xét tam giác vuông HIC và tam giác vuông BCI ta có : 

BC = IH 

IC chung

IBC = CHI = 90 độ

=> Tam giác HIC = tam giác BCI ( g.c.g) 

=> BI = HC (tg ứng)

Xét tam giác AKB và tam giác AKH ta có 

=> BAD = HAD ( AD là pg)

AK chung

AKB = AKH = 90 độ

=> Tam giác AKB = tam giác AKH (g.c.g)

=> AB =  AK 

Mà AI = AK + BI

AC = AH + HC 

=> AI = AC 

=> AIC cân tại A 

=> AIC = ACI 

Ta có AIC = ACI = 180 - A

Ta có AK = AH (cmt)

=> Tam giác BAH cân tại B 

=> ABH = AHB 

=> ABH = AHB = 180 - A

=> ABH = AHB = AIC = ACI ( cùng bằng 180 - A)

=> ABH = AIC 

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> BH //IC