a) Ta có:

• Góc A của tam giác ABC là góc vuông, nên ta có: cos(A) = 0, sin(A) = 1.
• Trong tam giác ABC, ta có: cos(B) = AB/AC = 3/4, sin(B) = AC/AB = 4/3.
• Trong tam giác HBA, ta có: cos(B) = AH/AB, sin(B) = HB/AB. Vậy, ta có: sin(B) = 4/3, cos(B) = sqrt(1 - sin^2(B)) = 1/3. Do đó, ta có: cos(AHB) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B) = sin(B) = 4/3 => Tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA theo tỉ lệ 4/3. b) Ta có:
• Theo định lí Pythagore, ta có: BC^2 = AC^2 - AB^2 = 400 - 225 = 175. => BC = sqrt(175) ≈ 13.23 cm.
• Diện tích tam giác ABC là S(ABC) = 1/2 AB * AC = 150 cm^2. Theo định lí diện tích tam giác, ta có: S(ABC) = 1/2 BC * AH => AH = 2S(ABC)/BC = 600/√175 ≈ 145.77 cm^2. c) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Ta có: AI song song với HD (do AD là đường cao trong tam giác ABC, nên AI vuông góc với BC; còn DH vuông góc với AB => AI || HD). Do đó, ta có: AH/HD = AB/IB => HD = AH * IB/AB = 60 cm^2/3 cm = 20 cm. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng HD. Ta có: BD = HC (do đây là tam giác cân tại A). Gọi x là độ dài BM, ta có:
• DH = HK + DM => HK = DH - DM = HD/2 - x.
• Trong tam giác BMD, ta có: cos(B) = DM/BM, sin(B) = BD/BM. => BM = DM/cos(B) = DM/3. Vậy, ta có: HB.HC = BD.HC = BM^2 = (DM/3)^2 HA.HD = HA.(2BMcos(B)) = 2AB/3 * (DM/cos(B)) * cos(B) = 2AB/3 * DM. Ta cần chứng minh rằng (DM/3)^2 = 2AB/3 * DM, tương đương với DM^3 = 18AB. Vì AB = 15, nên ta có: DM^3 = 270 => DM ≈ 6.29 cm. Do đó:
• HK = HD/2 - x ≈ 10.36 cm.
• HB.HC = (DM/3)^2 ≈ 7.69 cm^2.
• HA.HD = 2AB/3 * DM ≈ 63.29 cm