Giả sử vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình sau:

y(t) = A sin(ωt + φ)

Trong đó:

• A là biên độ của dao động
• ω là tần số góc của dao động
• φ là góc pha ban đầu

Khi vật đi qua vị trí li độ A, ta có:

A sin(ωt1 + φ) = A

⇒ sin(ωt1 + φ) = 1

Do đó, ωt1 + φ = π/2 + kπ, với k là số nguyên.

Khi vật đi qua vị trí li độ 2A, ta có:

A sin(ωt2 + φ) = -A

⇒ sin(ωt2 + φ) = -1

Do đó, ωt2 + φ = 3π/2 + kπ, với k là số nguyên.

Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật đi qua vị trí của li độ A:

T1 = (π/2 + kπ - φ) / ω

Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật đi qua vị trí của li độ 2A:

T2 = (3π/2 + kπ - φ) / ω

Khoảng thời gian dài nhất giữa hai lần liên tiếp vật đi qua vị trí của li độ bằng A/n tương đương với khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần liên tiếp vật đi qua vị trí của li độ bằng 2A/n.

Do đó, ta cần tìm giá trị của n sao cho:

T2 - T1 = (π - φ) / ω = T / n

Trong đó T là chu kỳ dao động, T = 2π / ω.

Do khoảng thời gian mà vật đi được quãng đường dài nhất là 3A, ta có:

3A = A / (1 - cos(2π / n))

⇒ 1 - cos(2π / n) = 1/3

⇒ cos(2π / n) = 2/3

⇒ 2π / n = arccos(2/3)

⇒ n = 4

Vậy giá trị của n là 4.