Đề bài và nội dung dịch tự động không khớp nhau. Tôi sẽ trình bày cách chứng minh như đề bài.

Ta có hệ thức sau đây giữa hoành độ của 2 điểm cắt của đường parabol (P) và đường thẳng (d):
x1 + x2 = -2m - 4 (1)
vì (P) có phương trình là y = x^2, nên ta thay y bằng 2x + 2m + 8 (phương trình của đường thẳng (d)) để giải hệ phương trình:
x^2 = 2x + 2m + 8
x^2 - 2x - 2m - 8 = 0
Để 2 điểm cắt của (P) và (d) có hoành độ x1 và x2, ta cần giải phương trình trên để tìm nghiệm x1 và x2. Ta có công thức tính nghiệm của phương trình bậc 2:
x1,2 = (-b ± √Δ) / 2a
Trong đó, a=1, b=-2, c=-2m-8, Δ=b^2-4ac. Thay vào công thức ta được:
x1,2 = (2 ± √(4 + 8m + 32)) / 2
x1 = 1 + √(2m + 9)
x2 = 1 - √(2m + 9)
Để chứng minh rằng x1 + 2x2 = 2, ta thay x1 và x2 vào biểu thức cần kiểm chứng:
x1 + 2x2 = (1 + √(2m + 9)) + 2(1 - √(2m + 9))
= 3 - √(2m + 9)
Như vậy, ta cần chứng minh rằng 3 - √(2m + 9) = 2, hay tương đương với √(2m + 9) = 1. Điều này xảy ra khi và chỉ khi m = -4.
Vậy nếu m = -4 thì (P) và (d) sẽ luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 2, như yêu cầu của đề bài.