Để phương trình bậc hai x^2 + 2mx + m^2 + 2m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt, ta cần điều kiện delta > 0:
delta = (2m)^2 - 4(1)(m^2 + 2m + 3) = -4m^2 - 16m - 8 < 0
Suy ra -2 < m < -1 + sqrt(3)

Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai. Ta có:
x1 + x2 = -2m
x1x2 = m^2 + 2m + 3

Theo đề bài, ta có:
x1^3 + x2^3 = (x1 + x2)(x1^2 - x1x2 + x2^2)
108 = (x1 + x2)(x1^2 - x1x2 + x2^2)

Thay x1 + x2 và x1x2 vào ta được:
108 = (-2m)[(x1 + x2)^2 - 3x1x2]
108 = (-2m)[4m^2 + 6]
54m^3 + 36m^2 - 54 = 0
6m^2(m + 1)(m - 3) = 0

Do đó, ta có 3 giá trị của m thỏa mãn điều kiện và phương trình x1^3 + x2^3 = 108:
m1 = -1 (phương trình trở thành x^2 + 2x + 4 = 0, có hai nghiệm phức đối xứng nhau)
m2 = -1/2 (phương trình trở thành x^2 + x + 3 = 0, có hai nghiệm phức đối xứng nhau)
m3 = 3 (phương trình trở thành x^2 + 6x + 12 = 0, có hai nghiệm thực phân biệt là -3 + sqrt(3) và -3 - sqrt(3)).

Vậy, các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt và x1^3 + x2^3 = 108 là m1 = -1, m2 = -1/2 và m3 = 3.