Để chứng minh bất đẳng thức a^2 + b^2 + c^2 ≥ 2(a + b + c) với a, b, c thuộc R, ta sử dụng phương pháp biện luận sau:

Bất đẳng thức được cho tương đương với a^2 + b^2 + c^2 - 2(a + b + c) ≥ 0.

Ta tiến hành phân tích vế trái của bất đẳng thức:

a^2 + b^2 + c^2 - 2(a + b + c) = (a^2 - 2a) + (b^2 - 2b) + (c^2 - 2c)
= a(a - 2) + b(b - 2) + c(c - 2).

Để bất đẳng thức này đúng, ta cần chứng minh rằng các biểu thức a(a - 2), b(b - 2), c(c - 2) không âm đồng thời.

Xét trường hợp a ≥ 2, b ≥ 2 và c ≥ 2:

- Với a ≥ 2, ta có a - 2 ≥ 0, nên a(a - 2) ≥ 0.
- Tương tự, với b ≥ 2 và c ≥ 2, ta có b(b - 2) ≥ 0 và c(c - 2) ≥ 0.

Vậy, trong trường hợp này, ta có a(a - 2) ≥ 0, b(b - 2) ≥ 0 và c(c - 2) ≥ 0.

Xét trường hợp còn lại khi ít nhất một trong ba số a, b, c nhỏ hơn 2. Ta có:

- Nếu a < 2, thì a - 2 < 0, nên a(a - 2) > 0.
- Tương tự, với b < 2 và c < 2, ta cũng có b(b - 2) > 0 và c(c - 2) > 0.

Vậy, trong trường hợp này, ta cũng có a(a - 2) > 0, b(b - 2) > 0 và c(c - 2) > 0.

Từ đó, ta kết luận rằng a(a - 2) ≥ 0, b(b - 2) ≥ 0 và c(c - 2) ≥ 0 đồng thời xảy ra trong mọi trường hợp.

Do đó, ta có a^2 + b^2 + c^2 - 2(a + b + c) ≥ 0, hay a^2 + b^2 + c^2 ≥ 2(a + b + c) với a, b, c thuộc R.