Để giải các câu hỏi trong bài toán, ta sẽ sử dụng các kiến thức về hình học và tính chất của tam giác.

1) Chứng minh bốn điểm B, C, E và F cùng thuộc một đường tròn:
- Ta biết rằng hai đường cao BE và CF cắt nhau tại điểm H.
- Theo tính chất đường cao, ta có: BH ⊥ AC và CH ⊥ AB.
- Khi đó, ta có tứ giác ABHC là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn do các góc nội tiếp B và C đều bằng 90 độ.
- Từ đó, ta suy ra B, C, E và F cùng thuộc một đường tròn, mà đường tròn đó chính là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác ABHC.

2) Chứng minh tam giác AEH đồng dạng với tam giác FNH và AF + HE = AE + HF:
- Ta biết rằng M và N lần lượt là hình chiếu của A và H lên đường thẳng EF.
- Theo tính chất của hình chiếu, ta có: AM ⊥ EF và NH ⊥ EF.
- Do đó, tam giác AME và tam giác HNE là các tam giác vuông.
- Ta cũng có tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn (do B, C, E và F cùng thuộc một đường tròn theo phần 1).
- Khi đó, theo tính chất của tứ giác nội tiếp, ta có góc AHE = góc FNE và góc AEH = góc NFH.
- Từ đó, ta suy ra tam giác AEH đồng dạng với tam giác FNH.
- Và theo định lí tỷ lệ cạnh trong tam giác đồng dạng, ta có: AF/AE = HF/HE.
- Từ phép cộng hai vế, ta suy ra AF + HE = AE + HF.

3) Chứng minh tam giác PMN cân tại P:
- Ta biết rằng P là trung điểm của cạnh BC (do P là trung điểm của đoạn thẳng BC).
- Từ đó, ta có BP = PC.
- Vì BE ⊥ AC và CF ⊥ AB, nên AE ⊥ BC và AF ⊥ BC.
- Khi đó, ta có hai tam giác APB và APC là các tam giác vuông.
- Theo tính chất của tam giác vuông, ta có: PA = PB và PA = PC.
- Từ đó, ta suy ra tam giác PMN cân tại P (vì PN = PM theo tính chất của hình chiếu).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh

 được:
1) Bốn điểm B, C, E và F cùng thuộc một đường tròn.
2) Tam giác AEH đồng dạng với tam giác FNH và AF + HE = AE + HF.
3) Tam giác PMN cân tại P.

2.1) Có ∠EAH = ∠EFH =>△AEH ∼ △FNH (gg)
2.2) + cm: △AFH ∼ △ENH (gg) giống ý trên
=> AF.HE = AH.NE
Từ  △AEH ∼ △FNH (ý 1) => AE.FH = AH.FN
=> cộng 2 về => đfcm
3) P là TĐ BC => P là tâm đtr ngoại tiếp tg BFEC
cm: tg AFHE nt đtr đk AH. Gọi O là tâm
=> EF là dây chung của (O) và (P)
=> OP là đường trung trực của EF (đl)
Gọi K là gđ của OP và EF
Có AM // HN // OK (⊥EF) => tg AMHN là hình thang
Có O là TĐ đường chéo AH
=> K là TĐ đường chéo NM (đl đường nối TĐ 2 đg chéo của hình thang // với 2 đáy)
Vì PK ⊥ MN và K là TĐ MN => PK là đg trung trực của MN => PM = PN => △MPN cân tại P