Để chứng minh MH + MK = BD, ta cần sử dụng một số tính chất của tam giác cân và tam giác vuông.

Ta biết rằng trong tam giác vuông AMB, với đỉnh vuông M, ta có:
- Đường cao BM là đường cao từ góc vuông M của tam giác AMB.
- Vì tam giác ABC cân tại A, nên BM là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, BM = AM.

Tương tự, trong tam giác vuông AMC, với đỉnh vuông M, ta có:
- Đường cao CM là đường cao từ góc vuông M của tam giác AMC.
- Vì tam giác ABC cân tại A, nên CM là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, CM = AM.

Từ đó, ta có:
MH = AH - AM
MK = AK - AM

Vì AH = AK = BD (do đường cao BD là đường cao từ góc vuông A của tam giác ABC), nên ta có:
MH = BD - AM
MK = BD - AM

Tổng của MH và MK:
MH + MK = (BD - AM) + (BD - AM) = 2BD - 2AM

Nhưng ta cũng biết rằng AM = BM = CM, do đó:
2AM = BM + CM = BC

Vậy, ta có:
MH + MK = 2BD - 2AM = 2BD - BC = BD (vì tam giác ABC cân tại A và BD là đường cao)

Do đó, ta đã chứng minh được rằng MH + MK = BD.