a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp:

Ta cần chứng minh rằng góc AHF + góc AEF = 180 độ.

Do AD là đường cao của tam giác ABC, nên góc BAC = 90 độ. Vì vậy, góc AHF là góc vuông.

Gọi I là giao điểm của đường thẳng AF và đường thẳng BC. Khi đó, ta có góc BAI = góc IAC (vì AI là đường trung trực của BC).

Do đó, trong tam giác AEF, ta có góc EAI = góc IAF (cùng bằng góc IAC).

Từ đó, ta có:
góc AEF + góc AFE = góc EAI + góc IAF = góc IAC + góc IAC = 2 * góc IAC

Vì góc IAC là góc nhọn, nên góc IAC < 90 độ. Vậy 2 * góc IAC < 180 độ.

Kết hợp với góc AHF là góc vuông, ta có: góc AEF + góc AFE = 2 * góc IAC < 180 độ.

Vậy tứ giác AEHF nội tiếp.

b) Chứng minh AF * AB = AE * AC:

Ta cần chứng minh rằng tứ giác AFBE và AEFC đồng dạng.

Do tứ giác AEHF nội tiếp (theo phần a), ta có:

góc AFE = góc AHE
góc AEF = góc AHF

Gọi α = góc BAF, β = góc CBA, γ = góc BAC.

Trong tam giác ABC, ta có:
góc BAC + góc ABC + góc BCA = 180 độ
γ + β + (90 - α) = 180 độ
γ + β - α + 90 = 180 độ
γ + β - α = 90 độ

Trong tam giác AFE, ta có:
góc AFE + góc AEF + góc EAF = 180 độ
góc AFE + góc AEF + (γ - α) = 180 độ
góc AFE + góc AEF = 180 độ - (γ - α)
góc AFE + góc AEF = 180 độ - γ + α
góc AFE + góc AEF = 180 độ - (γ + β - α)
góc AFE + góc AEF = 180 độ - (90 độ)
góc AFE + góc AEF = 90 độ

Vậy tứ giác AFBE và AEFC đồng dạng.

Do đồng dạng, ta có tỉ lệ bình đẳng:
AF/AC = AB/AE

Từ đó, ta có:
AF * AB = AC * AE



Vậy chứng minh được AF * AB = AE * AC.