1. Chứng minh bốn điểm M, A, O, B thuộc một đường tròn:
Vì MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc MOA = góc MBA.
Tương tự, góc MOB = góc MAB.
Vậy ta có:
góc MOA + góc MOB = góc MBA + góc MAB = 180 độ.
Điều này chứng minh được rằng bốn điểm M, A, O, B thuộc cùng một đường tròn.

2. Chứng minh OB.OE = 1/2 OM^2:
Vì I là trung điểm của đoạn thẳng MO, nên IO // BE và IO = 1/2 OB (vì I là trung điểm của MO).
Từ đó suy ra, tam giác IOB và tam giác OBE đồng dạng.
Vậy tỉ lệ cạnh tương ứng là OB/OE = IO/IB = 1/2 (do I là trung điểm của MO và IO = 1/2 OB).
Nhưng tỉ lệ OB/OE = IO/IB = 1/2,
nên ta có: OB.OE
= (OB/OE) * (OE^2)
= (1/2) * (OE^2)
= 1/2 * (OB^2) (vì IO = 1/2 OB).
Vì MO // OB (do I là trung điểm của MO), nên tam giác MOB và tam giác MOE đồng dạng.
Từ đó suy ra, tỉ lệ cạnh tương ứng là OB/OE = MO/ME.
Nhưng tỉ lệ OB/OE = MO/ME = 1/2, nên ta có: OB.OE = (OB/OE) * (OE^2) = (1/2) * (OE^2) = 1/2 * (MO^2) (vì OB = MO).
Vậy OB.OE = 1/2 * MO^2.

3. Chứng minh tam giác IME đồng dạng với tam giác COI và CE vuông góc MD:
Vì CE vuông góc với MD (vì C là hình chiếu vuông góc của I lên AO),
nên góc CMD = góc CED.
Tương tự, góc MIE = góc COI.
Vậy ta có: góc CMD = góc CED = góc MIE = góc COI.
Từ đó suy ra tam giác IME đồng dạng với tam giác COI (theo góc).