a) Chứng minh tam giác AME đồng dạng tam giác ACM:
Vì góc MNI = góc MBI (do MN vuông góc với AB và I nằm giữa A và O),
góc AME = góc ACM (góc ở đỉnh),
và góc EAM = góc CAM (do AE song song với MC theo định lý cắt song song),
nên ta có hai góc của tam giác AME tương ứng bằng hai góc của tam giác ACM.
Do đó, tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.

b) Chứng minh AE.AC = AI².BA:
Từ tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM (kết quả từ phần a), ta có tỉ số đồng dạng: AM/AE = AC/ACM.
Do đó, AM.ACM = AE.AC.   (1)
Từ tam giác AIB vuông tại I, ta có: AI² = AB.IB.   (2)
Từ (1) và (2), ta có: AM.ACM = AI².AB.IB.
Vì A, C, M, B cùng nằm trên đường tròn (O), nên ACM là góc nội tiếp cùng với góc AMB.
Suy ra, ACM = AMB.
Vậy, AM.ACM = AM.AMB = AI².AB.IB.
Kết hợp với (1), ta có: AE.AC = AI².BA.

c) Để xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất, ta cần xem xét các trường hợp có thể.

- Trường hợp 1: C nằm trên cung lớn MN.
- Trường hợp 2: C nằm trên cung nhỏ MN.

Ta sẽ chứng minh rằng trường hợp 1 sẽ cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.

Giả sử C nằm trên cung nhỏ MN. Khi đó, đường tròn ngoại tiếp tam giác CME sẽ có tâm là điểm M'. Vì N nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác CME, nên N sẽ nằm ngoài đường tròn ngoại tiếp tam giác C'M'E.

Xét hai tam giác CME và C'M'E, ta thấy chúng có hai cạnh ME và C'E chung và góc M'C'E là góc bù của góc MCE. Do đó, theo định lý cạnh, cạnh MC' sẽ dài hơn cạnh MC. Tuy nhiên, đường

 tròn ngoại tiếp tam giác CME có tâm là M' và đường tròn ngoại tiếp tam giác CME có tâm là M (điểm O). Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là M. Do đó, ta kết luận rằng C không thể nằm trên cung nhỏ MN.

Vậy, trường hợp 1 là vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.