a) Để chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua điểm 4(1:1) với mọi giá trị của m, ta thay giá trị x = 1 và y = 1 vào phương trình của đường thẳng (d).

(d): y = (m-3)x - m + 4

Thay x = 1 và y = 1 vào đường thẳng (d):

1 = (m-3)(1) - m + 4
1 = m - 3 - m + 4
1 = 1

Phương trình trên đúng với mọi giá trị của m. Do đó, đường thẳng (d) luôn đi qua điểm 4(1:1).

b) Để tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 và x2 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân, ta cần tìm điểm giao giữa (d) và (P), sau đó tính khoảng cách giữa hai điểm giao đó.

Để tìm điểm giao giữa (d) và (P), ta giải hệ phương trình giữa (d) và (P):

y = x^2   (1)
y = (m-3)x - m + 4   (2)

Để thuận tiện, ta thay y trong phương trình (1) bằng x^2 trong phương trình (2):

x^2 = (m-3)x - m + 4

Đưa về dạng bình phương:

x^2 - (m-3)x + (m-4) = 0

Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai, ta có:

x1 = [(m-3) + √((m-3)^2 - 4(m-4))]/2
x2 = [(m-3) - √((m-3)^2 - 4(m-4))]/2

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 và x2, ta cần xác định m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

Điều kiện để có hai nghiệm phân biệt là phương trình trong dấu căn phải khác 0:

(m-3)^2 - 4(m-4) > 0

m^2 - 6m + 9 - 4m + 16 > 0
m^2 - 10m + 25 > 0
(m - 5)^2 > 0

Phương trình trên luôn đúng với mọi giá trị của m, trừ m = 5.

Vậy, để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 và x2 là độ dài hai cạnh của một tam gi

ác vuông cân, ta chỉ cần m ≠ 5.