a) Để chứng minh năm điểm A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của các tiếp tuyến và các góc thuộc cùng một hình tròn.

Vì AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R), nên góc BAO = góc CAO = 90 độ. (1)
Từ (1), ta có thể suy ra:
góc BOA = 180 - góc BAO = 180 - 90 = 90 độ.
góc COA = 180 - góc CAO = 180 - 90 = 90 độ.

Vậy ta có hai góc vuông BOA và COA.
Do đó, ta có thể kết luận rằng năm điểm A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Để chứng minh AK.AI = AH.AO và tam giác AFE đồng dạng với tam giác BFA, ta sẽ sử dụng các định lý và tính chất liên quan đến tiếp tuyến và đường tròn.

Xét tam giác AHD và tam giác ODA:
- AH là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) (vì A, H, C thẳng hàng).
- OD là đường kính của đường tròn (O; R).
- AD là đường cao chung của hai tam giác AHD và ODA (vì OD vuông góc với AD).

Vì vậy, theo định lý thales, ta có:
AH/AO = AD/OD. (2)

Xét tam giác AID và tam giác OIE:
- AI là đường trung tuyến của tam giác AED (vì I là trung điểm của DE).
- OI là đường trung tuyến của tam giác ODE (vì I là trung điểm của DE).

Vậy ta có:
AI/OI = AD/OE. (3)

Từ (2) và (3), ta có:
AH/AO = AI/OI.

Kết hợp với định lý thales, ta cũng có:
AK/AI = AO/OI.

Vậy ta có:
AK.AI = AH.AO.

Đồng thời, vì tam giác AFE và tam giác BFA cùng có cặp góc bằng nhau (góc FAE = góc FBA) và cùng có một cặp cạnh tương đồng (AE // BF), nên ta có thể kết luận rằng tam giác AFE đồng dạng với tam giác BFA.

c) Để chứng minh ba đường thẳng AB, CD, FK đồng quy, ta sẽ sử dụng định lý Ceva trong tam giác AHD.

Áp dụng định lý Ceva cho tam

 giác AHD, ta có:
AH/HD * DK/KA * AF/FH = 1.

Tuy nhiên, vì AK.AI = AH.AO (đã chứng minh ở bước b), nên ta có:
AK/AH = AO/OI.

Thay thế vào biểu thức ở trên, ta có:
(AO/OI) * DK/KA * AF/FH = 1.

Do đó, ta có:
DK/KA * AF/FH = OI/AO.

Từ (3), ta cũng có:
DK/KA = OE/AD.

Thay thế vào biểu thức ở trên, ta có:
(OE/AD) * AF/FH = OI/AO.

Vì dây cung BD song song với AC, nên ta có:
AF/FH = DE/AD = OE/OI.

Thay thế vào biểu thức ở trên, ta có:
(OE/OI) * (OE/OI) = OI/AO.

Từ đó, ta có:
(OE/OI)^2 = OI/AO.

Vì vậy, ta có:
OE/OI = OI/AO.

Do đó, ba đường thẳng AB, CD, FK đồng quy.