a/ Ta có H là trung điểm của OB nên OH vuông AB và OH = OB/2 = R/2.
Gọi M là trung điểm của CD, ta có HM song song với AB và HM = 1/2 CD.
Do đó, tam giác ACD và tam giác HCM đồng dạng với tỉ số 1:2.
Vậy, AM = 2HM = CD và AM vuông AB.
Do đó, E là trung điểm của AC.
Khi đó, ta có AE song song với CD và cắt AB tại F (F là trung điểm của AB).
Vậy, ta có tam giác ACF đồng dạng với tam giác ADC và ta có:
EF/FC = AE/CD = 1/2
Vậy, E là trung điểm của CF.

b/ Vì E là trung điểm của AC nên ta có thể di chuyển E trên đường tròn (O;R) bằng cách di chuyển điểm C và A sao cho AC không thay đổi.

c/ Gọi I là giao điểm của CD và AB. Ta có:
CI là đường trung bình trong tam giác ABD nên CI^2 = (AB^2 + BD^2)/2 - AD^2/4
= (AB^2 + (2R)^2)/2 - (AB/2)^2 = AB^2/4 + 4R^2
Do đó, CI = √(AB^2/4 + 4R^2)

Vậy, để CD ngắn nhất, ta cần chọn CD sao cho CI đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có:
CI^2 = AB^2/4 + 4R^2 ≥ 4R^2
Vậy, CI đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi AB = 0, tức là A và B trùng với nhau.
Khi đó, ta có CD là đường kính của đường tròn (O;R) và CI = R.

d/ Ta có CD vuông AB nên tam giác ADC và tam giác ABD là tam giác cùng đường cao.
Do đó, AD = DC = BD và tam giác ADC là tam giác đều.
Vậy, ta có AC = AD√3 = DC√3.
Từ đó, ta suy ra:
sin(ACB) = sin(60°) = √3/2
cos(ACB) = cos(60°) = 1/2

Vậy, ta có:
S(ABCD) = S(ABD) + S(ACD) = BDAB/2 + DCAC/2
= BDAB/2 + DCAD√3/2 = BDAB/2 + BDAD√3/2 = BD*AB(1 + √3)/2

Do đó, ta có:
S(ABCD)/R^2 = BDAB(1 + √3)/(2R^2) = BDAB(1 + √3)/(4R^2/2)
= BDABsin(ACB)/2R = BDAB√3/4

Vậy, S(ABCD) = R^2BDAB*√3/4.