a. Ta có: $\angle BAD = \angle CAD$ (do $AD$ là phân giác góc $A$) và $\angle BAC = 90^\circ$, suy ra $\angle BAD = \angle CAD = \dfrac{1}{2}\angle BAC = 45^\circ$.
Do đó, tam giác $ABD$ và $ACD$ đều là tam giác vuông cân tại $D$. Khi đó, ta có:
$$BD = AD\cdot \tan \angle BAD = \dfrac{AB}{2}\cdot \tan 45^\circ = \dfrac{9}{2}$$
$$CD = AD\cdot \tan \angle CAD = \dfrac{AC}{2}\cdot \tan 45^\circ = 6$$
Vậy độ dài $BD = \dfrac{9}{2}$ cm và $CD = 6$ cm.

b. Diện tích tam giác $ABD$ là:
$$S_{ABD} = \dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot BD = \dfrac{1}{2}\cdot 9\cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{81}{4}$$
Diện tích tam giác $ACD$ là:
$$S_{ACD} = \dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot CD = \dfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 6 = 36$$
Vậy diện tích các tam giác $ABD$ và $ACD$ lần lượt là $\dfrac{81}{4}$ cm$^2$ và $36$ cm$^2$.