Để tính BH và HC, ta sử dụng định lí đường cao trong tam giác vuông.

Theo định lí đường cao, ta có:
BH = BD - HD
HC = CD - HD

Vậy ta cần tính HD.

Ta có:
AD là đường phân giác, nên AD chia góc BAC thành hai góc bằng nhau. Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Vậy góc BAD = góc CAD = 45 độ.

Do đó, tam giác ABD là tam giác vuông cân tại A. Vì vậy, ta có:
BD = AD * sqrt(2) = 15

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông ACD, ta có:
AC^2 = AD^2 + CD^2
AC^2 = 15^2 + 20^2
AC^2 = 225 + 400
AC^2 = 625
AC = 25

Vì AH là đường cao, nên AH là đường vuông góc với BC. Vậy tam giác AHB là tam giác vuông cân tại H. Do đó, ta có:
BH = AH * sqrt(2)

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông ACH, ta có:
AC^2 = AH^2 + HC^2
25^2 = AH^2 + HC^2
625 = AH^2 + HC^2

Vì BH = BD - HD và HC = CD - HD, ta có:
BH = BD - HD = 15 - HD
HC = CD - HD = 20 - HD

Substitute BH và HC vào phương trình trên, ta có:
625 = (15 - HD)^2 + (20 - HD)^2
625 = 225 - 30HD + HD^2 + 400 - 40HD + HD^2
625 = 625 - 70HD + 2HD^2
0 = 2HD^2 - 70HD

Đặt t = HD, ta có:
2t^2 - 70t = 0
t(2t - 70) = 0

Vậy t = 0 hoặc t = 35.

Vì HD không thể bằng 0 (vì HD là đường cao), nên ta có HD = 35.

Substitute HD vào BH và HC, ta có:
BH = BD - HD = 15 - 35 = -20 (vô lý vì BH không thể âm)
HC = CD - HD = 20 - 35 = -15 (vô lý vì HC không thể âm)

Vậy không có giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.