Để chứng minh bất đẳng thức này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-HM (trung bình cộng - trung bình nghịch đảo) và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Áp dụng bất đẳng thức AM-HM cho các số a^2, b^2, c^2, ta có:
(a^2 + b^2 + c^2) / 3 ≥ 3 / (1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)
⇔ 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 ≤ (a^2 + b^2 + c^2) / 3

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các số a, b, c và 1/a, 1/b, 1/c, ta có:
(a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c) ≥ (1 + 1 + 1)^2
⇔ (a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c) ≥ 9
⇔ 1/a + 1/b + 1/c ≥ 9 / (a + b + c)

Kết hợp hai bất đẳng thức trên, ta có:
1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 ≤ (a^2 + b^2 + c^2) / 3
1/a + 1/b + 1/c ≥ 9 / (a + b + c)

Nhân cả hai bất đẳng thức với 1/3, ta được:
1/3 * (1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2) ≤ 1/3 * (a^2 + b^2 + c^2) / 3
1/3 * (1/a + 1/b + 1/c) ≥ 1/3 * 9 / (a + b + c)

Tổng hợp lại, ta có:
1/3 * (1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2) ≤ 1/3 * (a^2 + b^2 + c^2) / 3
1/3 * (1/a + 1/b + 1/c) ≥ 1/3 * 9 / (a + b + c)

Cộng hai bất đẳng thức trên, ta có:
1/3 * (1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2) + 1/3 * (1/a + 1/b + 1/c) ≤ 1/3 * (a^2 + b^2 + c^2) / 3 + 1/3 * 9 / (a + b + c)
⇔ 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 1/a + 1/b + 1/c ≤ (a^2 + b^2 + c^2) / 3 + 3 / (a + b + c)

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với 3, ta có:
3/a^2 + 3/b^2 + 3/c^2 + 3/a + 3/b + 3/c ≤ (a^2 + b^2 + c^2) + 9 / (a + b + c)

Đặt x = a^2 + b^2 + c^2 và y = a + b + c, ta có:
3/x + 3/y ≤ x + 9/y

Áp dụng bất đẳng thức AM-HM cho các số x và y, ta có:
(x + y) / 2 ≥ 2 / (1/x + 1/y)
⇔ (x + y) / 2 ≥ 2xy / (x + y)
⇔ (x + y)^2 ≥ 4xy
⇔ x^2 + 2xy + y^2 ≥ 4xy
⇔ x^2 + y^2 ≥ 2xy

Áp dụng bất đẳng thức trên vào bất đẳng thức trước đó, ta có:
3/x + 3/y ≤ x + 9/y
⇔ 3/x + 3/y ≤ x + 9/y + 2xy - 2xy
⇔ 3/x + 3/y ≤ (x^2 + y^2) + 2xy / y
⇔ 3/x + 3/y ≤ (x^2 + y^2 + 2xy) / y
⇔ 3/x + 3/y ≤ (x + y)^2 / y
⇔ 3/x + 3/y ≤ (x + y)^2 / y^2 * y
⇔ 3/x + 3/y ≤ (x + y)^2 / (y^2 * y)
⇔ 3/x + 3/y ≤ (x + y)^2 / (y^3)

Vì a, b, c > 0, nên x = a^2 + b^2 + c^2 > 0 và y = a + b + c > 0. Do đó, ta có:
3/x + 3/y ≤ (x + y)^2 / (y^3)
⇔ 3/(a^2 + b^2 + c^2) + 3/(a + b + c) ≤ ((a^2 + b^2 + c^2) + (a + b + c))^2 / ((a + b + c)^3)
⇔ a/a^2 + b/b^2 + c/c^2 ≤ (a + b + c)^2 / (2(a + b + c)^3)
⇔ a/a^2 + b/b^2 + c/c^2 ≤ 1/2(a + b + c)^2 / (a + b + c)^3
⇔ a/a^2 + b/b^2 + c/c^2 ≤ 1/2(a + b + c) / (a + b + c)^2
⇔ a/a^2 + b/b^2 + c/c^2 ≤ 1/2(a + b + c) / (a + b + c) * 1/(a + b + c)
⇔ a/a^2 + b/b^2 + c/c^2 ≤ 1/2 * 1/(a + b + c)
⇔ a/a^2 + b/b^2 + c/c^2 ≤ 1/2(1/a + 1/b + 1/c)

Vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức ban đầu.