Áp dụng BĐT bu-nhi-a-cốp-xki để chứng minh rằng

Để chứng minh rằng căn (2x-3) + căn (5-2x) bé hơn hoặc bằng 2, ta sẽ áp dụng BĐT bu-nhi-a-cốp-xki (BĐT Bù-Nhị-A-Cốp-Xki) vào bất đẳng thức này.

Bước 1: Đặt căn (2x-3) = a và căn (5-2x) = b.

Bước 2: Bình phương cả hai vế của bất đẳng thức:

(a + b)^2 ≤ 2^2

a^2 + 2ab + b^2 ≤ 4

Bước 3: Áp dụng BĐT bu-nhi-a-cốp-xki:

a^2 + b^2 + 2ab - 4 ≤ 0

Bước 4: Thay lại giá trị của a và b:

(2x-3) + (5-2x) + 2√[(2x-3)(5-2x)] - 4 ≤ 0

Bước 5: Rút gọn và sắp xếp lại biểu thức:

2x - 3 + 5 - 2x + 2√[(2x-3)(5-2x)] - 4 ≤ 0

2√[(2x-3)(5-2x)] - 2 ≤ 0

Bước 6: Rút gọn và sắp xếp lại biểu thức:

√[(2x-3)(5-2x)] ≤ 1

Bước 7: Bình phương cả hai vế của bất đẳng thức:

(2x-3)(5-2x) ≤ 1

Bước 8: Mở ngoặc và sắp xếp lại biểu thức:

10x - 4x^2 - 15 + 6x ≤ 1

Bước 9: Rút gọn và sắp xếp lại biểu thức:

-4x^2 + 16x - 14 ≤ 1

Bước 10: Đưa về dạng bình phương:

-4x^2 + 16x - 15 ≤ 0

Bước 11: Giải phương trình:

-4x^2 + 16x - 15 = 0

Bước 12: Tìm các nghiệm của phương trình:

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Với a = -4, b = 16, c = -15, ta có:

x = (-16 ± √(16^2 - 4(-4)(-15))) / (2(-4))

x = (-16 ± √(256 - 240)) / (-8)

x = (-16 ± √16) / (-8)

x = (-16 ± 4) / (-8)

x = -1 hoặc x = 3

Bước 13: Kiểm tra các nghiệm:

Khi x = -1:

Căn (2x-3) + căn (5-2x) = căn (2(-1)-3) + căn (5-2(-1)) = căn (-5) + căn (7) ≈ 2.65

Khi x = 3:

Căn (2x-3) + căn (5-2x) = căn (2(3)-3) + căn (5-2(3)) = căn (3) + căn (-1) ≈ 2.73

Vậy, căn (2x-3) + căn (5-2x) không bé hơn hoặc bằng 2 với mọi giá trị của x.