a) Để chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông, ta sử dụng định lí Pythagoras. Theo định lí này, trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Ta có:

AB^2 = AC^2 + BC^2
12^2 = 16^2 + 20^2
144 = 256 + 400
144 = 656

Vì phương trình trên không đúng, nên tam giác ABC không phải là tam giác vuông.

b) Để tính độ dài AM, ta sử dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông AMB:

AM^2 = AB^2 - BM^2
AM^2 = 12^2 - BM^2
AM^2 = 144 - BM^2

Để tính độ dài BM, ta sử dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông MEB:

ME^2 = BM^2 + BE^2
ME^2 = BM^2 + AE^2
ME^2 = BM^2 + (AC - MC)^2
ME^2 = BM^2 + (16 - MC)^2

c) Để chứng minh AE.AB = AC^2 - MC^2, ta sử dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông MEC:

EC^2 = MC^2 + ME^2
EC^2 = MC^2 + (16 - MC)^2
EC^2 = MC^2 + 256 - 32MC + MC^2
EC^2 = 2MC^2 - 32MC + 256

Từ đó, ta có:

AE.AB = (AC - EC).AB
AE.AB = (16 - EC).12
AE.AB = (16 - √(2MC^2 - 32MC + 256)).12
AE.AB = 192 - 12√(2MC^2 - 32MC + 256)

Và:

AC^2 - MC^2 = 16^2 - MC^2
AC^2 - MC^2 = 256 - MC^2

Vậy, để chứng minh AE.AB = AC^2 - MC^2, ta cần chứng minh:

192 - 12√(2MC^2 - 32MC + 256) = 256 - MC^2

d) Để chứng minh AE.AB = MB.MC = EM.AC, ta cần chứng minh:

192 - 12√(2MC^2 - 32MC + 256) = MC(16 - MC) = (16 - MC)√(2MC^2 - 32MC + 256)

Vậy, để chứng minh AE.AB = MB.MC = EM.AC, ta cần chứng minh:

192 = MC(16 - MC) + (16 - MC)√(2MC^2 - 32MC + 256)