a) Tứ giác AECF là hình bình hành. Vì OB và OD là đường chéo của hình bình hành ABCD, nên E và F lần lượt là trung điểm của OB và OD. Theo định nghĩa, trung điểm của một đường chéo trong hình bình hành chia đường chéo đó thành hai phần bằng nhau. Do đó, AE = EC và CF = FA. Từ đó suy ra tứ giác AECF là hình bình hành.

b) Ta có:
- Trong tam giác AOF, theo định lí Thales, ta có: AF/FO = CF/OO = 2/1.
- Trong tam giác COE, theo định lí Thales, ta có: CE/EO = AE/OO = 1/2.
- Từ đó, ta suy ra: AF/FO = 2/1 = 1/2 = CE/EO.
- Do đó, theo định lí Thales, ta có: HF/FO = KE/EO.
- Vì FO = EO (đường chéo chia đôi đường chéo), nên HF = KE.

c) Gọi M là giao điểm của CI và AB. Ta có:
- Trong tam giác CMO, theo định lí Thales, ta có: CM/MO = CI/IO.
- Trong tam giác CDO, theo định lí Thales, ta có: CD/DO = CO/OO = 2/1.
- Từ đó, ta suy ra: CM/MO = CI/IO = 2/1.
- Do đó, theo định lí Thales, ta có: CI/IO = 2/1 = 1/2.
- Vì IO = 1/3 DO (đường thẳng qua O song song với CK chia đôi DC), nên CI = 1/3 DC.