Để giải bài toán này, ta sử dụng công thức tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều.

1. Tính độ dài cạnh đáy của hình chóp:
Thể tích của hình chóp tứ giác đều được tính bằng công thức:
V = (1/3) * S * h
Trong đó, V là thể tích, S là diện tích đáy, h là chiều cao của hình chóp.

Thay vào công thức, ta có:
1280 = (1/3) * S * 15
S = (1280 * 3) / 15
S = 256

Vì hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là hình vuông, nên diện tích đáy S cũng chính là cạnh đáy bình phương.
S = a^2
256 = a^2
a = √256
a = 16

Vậy, độ dài cạnh đáy của hình chóp là 16 cm.

2. Tính diện tích xung quanh của hình chóp:
Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều được tính bằng công thức:
A = (1/2) * p * l
Trong đó, A là diện tích xung quanh, p là chu vi đáy, l là độ dài trung đoạn.

Chu vi đáy của hình chóp là 4 * a (vì đáy là hình vuông).
p = 4 * a
p = 4 * 16
p = 64

Thay vào công thức, ta có:
A = (1/2) * 64 * 17
A = 544

Vậy, diện tích xung quanh của hình chóp là 544 cm².