Để tính tổng A = 1 + 1/2 + 1/2.2 + 1/2.3 + ... + 1/2.100, ta thấy mẫu số của các phân số là các số từ 2 đến 100, và tử số của các phân số là 1.

Ta có thể viết lại tổng A dưới dạng:

A = 1/2 + 1/2.2 + 1/2.3 + ... + 1/2.100

= 1/2(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/100)

Ta biết rằng tổng các nghịch đảo của các số từ 1 đến n có thể được biểu diễn dưới dạng tổng các số hạng của dãy harmonic. Với n = 100, ta có:

1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/100 = H100

Với H100 là tổng các số hạng của dãy harmonic đến số hạng thứ 100.

Vậy, A = 1/2 * H100.

Để tính giá trị của H100, ta có thể sử dụng công thức tổng quát của dãy harmonic:

Hn = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n = ln(n) + γ + O(1/n)

Trong đó, ln(n) là logarit tự nhiên của n, γ là hằng số Euler và O(1/n) là một hàm không đổi với n.

Áp dụng công thức trên, ta có:

H100 = ln(100) + γ + O(1/100)

Với ln(100) ≈ 4.60517 và γ ≈ 0.57721, ta có:

H100 ≈ 4.60517 + 0.57721 + O(1/100)

Vậy, A ≈ 1/2 * (4.60517 + 0.57721 + O(1/100))

A ≈ 2.59169 + 0.28861 + O(1/100)

A ≈ 2.8803 + O(1/100)

Vậy, giá trị của tổng A là khoảng 2.8803.