a) Ta có tam giác ABC là tam giác vuông nếu và chỉ nếu đường tròn đường kính BC đi qua đỉnh A. Vì vậy, để chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông, ta cần chứng minh đường tròn đường kính BC đi qua đỉnh A.

Gọi O là tâm đường tròn, ta có AO là đường phân giác góc BAC. Vì đường tròn có đường kính BC, nên OB = OC = R. Khi đó, ta có:
AB = AO - OB = R - R = 0
AC = AO - OC = R - R = 0

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

b) Ta cần chứng minh SABC ≤ R^2.

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có AM = R (vì A nằm trên đường tròn đường kính BC).

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB*BC*cos(∠ABC)
R^2 = 0^2 + (2R)^2 - 2*0*(2R)*cos(∠ABC)
R^2 = 4R^2 - 0
0 ≤ 3R^2

Vậy SABC ≤ R^2.