a) Tính các cạnh và các góc của A4BC biết BH = 9cm, CH = 4cm:

Ta có A4BC là tam giác vuông tại A, với đường cao AH.

Theo định lý Pythagoras, ta có:
AB² = AH² + BH²
AC² = AH² + CH²

Thay giá trị vào, ta có:
AB² = AH² + 9²
AC² = AH² + 4²

Vì AB > AC, nên AB² > AC². Từ đó suy ra AH² + 9² > AH² + 4².
Simplifying the inequality, we get:
81 > 16
Điều này là đúng, vì vậy AB > AC.

b) Vẽ AD là phân giác góc BAH, DE là phân giác góc eBH.

Ta cần chứng minh A4CD.

Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh hai tam giác A4CD và A4AD là đồng dạng.

Ta có:
∠DAB = ∠DAC (vì AD là phân giác góc BAH)
∠ADB = ∠ADC (vì DE là phân giác góc eBH)

Ngoài ra, ta cần chứng minh tỉ lệ đồng dạng giữa các cạnh của hai tam giác.

Ta có:
AD/AC = AB/AD (vì AD là phân giác góc BAH)
CD/AC = CB/CD (vì DE là phân giác góc eBH)

Từ đó suy ra:
AD² = AC² (vì AD/AC = AB/AD)
CD² = AC² (vì CD/AC = CB/CD)

Vậy ta có:
AD = AC
CD = AC

Do đó, ta có A4CD.

c) Chứng minh HD.BC = DB.AC:

Ta có:
HD/DB = AC/BC (vì AD là phân giác góc BAH)
HD.BC = DB.AC