Để kiểm tra xem biểu thức 3 + 3² + 3³ + ... + 3⁶⁰ có chia hết cho 4 và 13 hay không, ta cần tìm một mẹo hay quy tắc để tính tổng của dãy số này.

Quy tắc tính tổng của dãy số hình thành bởi cơ số a và số mũ từ 0 đến n là:
S = (a^(n+1) - 1) / (a - 1)

Áp dụng vào trường hợp này, ta có:
a = 3
n = 60

S = (3^(60+1) - 1) / (3 - 1)
= (3^61 - 1) / 2

Để kiểm tra xem S có chia hết cho 4 hay không, ta chỉ cần kiểm tra xem 3^61 - 1 có chia hết cho 8 hay không. Vì 8 chia hết cho 4, nên nếu 3^61 - 1 chia hết cho 8 thì nó cũng chia hết cho 4.

Để kiểm tra xem S có chia hết cho 13 hay không, ta chỉ cần kiểm tra xem 3^61 - 1 có chia hết cho 13 hay không.

Sử dụng công thức Euler, ta có:
3^12 ≡ 1 (mod 13)

Vì vậy:
3^60 ≡ (3^12)^5 ≡ 1^5 ≡ 1 (mod 13)

Do đó:
3^61 - 1 ≡ 3 - 1 ≡ 2 (mod 13)

Vậy, ta kết luận rằng biểu thức 3 + 3² + 3³ + ... + 3⁶⁰ chia hết cho cả 4 và 13.