Để chứng minh các phần a), b), c), d), ta sử dụng các tính chất của tam giác cân và tam giác đồng dạng.

a) Ta có tam giác ABC cân tại A, do đó BM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Theo tính chất của đường trung tuyến, ta có BM = \frac{1}{2}AC. Tương tự, ta có CN = \frac{1}{2}AB. Vì tam giác ABC cân nên AC = AB, suy ra BM = CN.

b) Ta đã chứng minh ở phần a) rằng BM = CN.

c) Ta có BM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên BM song song với đáy BC. Tương tự, CN cũng song song với đáy BC. Do đó, ta có MN//BC.

d) Ta đã chứng minh ở phần a) rằng BM = CN. Vì BM = CN và BG là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên BG = \frac{1}{2}AC. Tương tự, CG = \frac{1}{2}AB. Vì tam giác ABC cân nên AC = AB, suy ra BG = CG. Do đó, tam giác GBC là tam giác cân.