Tìm GTNN của x^2/x-1 khi x>1

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = \frac{x^2}{x-1}\) khi \(x > 1\), ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g(x) = \frac{x^2}{x-1}\) trên đoạn \((1, +\infty)\).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(g(x)\), ta sẽ tìm điểm cực tiểu của hàm số này. Điểm cực tiểu của hàm số nằm ở điểm mà đạo hàm của hàm số bằng 0.

Bắt đầu bằng việc tính đạo hàm của \(g(x)\):
\(g'(x) = \frac{(x-1)(2x) - x^2(1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}\)

Đạo hàm \(g'(x)\) sẽ bằng 0 khi \(x^2 - 2x = 0\). Giải phương trình này ta có:
\(x(x-2) = 0\)

Phương trình này có hai nghiệm là \(x = 0\) và \(x = 2\). Tuy nhiên, vì \(x > 1\), nên ta chỉ quan tâm đến nghiệm \(x = 2\).

Tiếp theo, ta sẽ kiểm tra giá trị của \(g(x)\) tại các điểm quan trọng: \(x = 1\), \(x = 2\), và \(x \to +\infty\).

Khi \(x = 1\), giá trị của \(g(x)\) không xác định vì mẫu số bằng 0.

Khi \(x = 2\), giá trị của \(g(x)\) là:
\(g(2) = \frac{2^2}{2-1} = 4\)

Khi \(x \to +\infty\), ta có:
\(g(x) = \frac{x^2}{x-1} \to +\infty\)

Vậy, giá trị nhỏ nhất của \(g(x)\) khi \(x > 1\) là 4, đạt được khi \(x = 2\).