Chứng minh rằng a/b = c/d nếu

Để chứng minh rằng a/b = c/d, ta sẽ sử dụng các giả thiết a/c = a+b/c+d và b/d = a-b/c-d.

Từ giả thiết a/c = a+b/c+d, ta có:
a/c = (a+b)/(c+d) (1)

Từ giả thiết b/d = a-b/c-d, ta có:
b/d = (a-b)/(c-d) (2)

Để chứng minh a/b = c/d, ta sẽ chứng minh rằng phương trình (1) và (2) tương đương.

Đầu tiên, ta sẽ chứng minh rằng nếu a/c = (a+b)/(c+d), thì a/b = (a-b)/(c-d).

Bằng cách nhân cả hai vế của phương trình (1) với (c-d), ta có:
(a/c)(c-d) = [(a+b)/(c+d)](c-d)
a(c-d) = (a+b)(c-d)/(c+d)
ac - ad = ac - ad + bc - bd
0 = bc - bd
bd = bc

Từ đó, ta có:
a/b = (a+b)/(c+d) (3)

Tương tự, ta sẽ chứng minh rằng nếu b/d = (a-b)/(c-d), thì a/b = (a+b)/(c+d).

Bằng cách nhân cả hai vế của phương trình (2) với (c+d), ta có:
(b/d)(c+d) = [(a-b)/(c-d)](c+d)
b(c+d) = (a-b)(c+d)/(c-d)
bc + bd = ac + ad - bc - bd
2bd = 2ac
bd = ac

Từ đó, ta có:
a/b = (a+b)/(c+d) (4)

Từ (3) và (4), ta có thể kết luận rằng a/b = c/d.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng a/b = c/d nếu a/c = a+b/c+d và b/d = a-b/c-d.