Cho tam giác cân tại A. Đường cao BE và AH cắt nhau tại F. Chứng minh: CF vuông với AB. Vẽ đường tròn (O) đường kính AF cắt AB tại M. Chứng minh: A; E; F; M cùng thuộc (O)

a, Ta có tam giác ABC là tam giác cân tại A, do đó đường cao BE cắt AB tại trung điểm D của AB. Khi đó, ta có AD = DB.

Giả sử CF không vuông góc với AB, tức là CF cắt AB tại điểm G nằm giữa A và B. Khi đó, ta có AG > GB.

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác ACG, ta có:

AC² = AG² + CG²

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác BCG, ta có:

BC² = BG² + CG²

Do đó, ta có:

AC² - BC² = AG² + CG² - BG² - CG²

AC² - BC² = AG² - BG²

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác ABC, ta có:

AC² - BC² = AB²

AG² - BG² = AB²

(AG + BG)(AG - BG) = AB²

(AG + BG)(AG - BG) = AD²

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác ABD, ta có:

AD² = AB² + BD²

AD² = AB² + (AB/2)²

AD² = AB² + AB²/4

AD² = (5/4)AB²

(AG + BG)(AG - BG) = (5/4)AB²

AG + BG = (5/4)AB

AG + GB = (5/4)AB

AG + GB > AB

Điều này mâu thuẫn với giả thiết AG > GB.

Vậy CF phải vuông góc với AB.

b, Ta có tam giác ABC là tam giác cân tại A, do đó đường cao BE cắt AB tại trung điểm D của AB. Khi đó, ta có AD = DB.

Do CF vuông góc với AB, ta có:

∠ACF = ∠BCF = 90°

∠ACB = 180° - ∠ACF - ∠BCF = 180° - 90° - 90° = 0°

Do đó, ta có A, E, F, M cùng thuộc đường tròn (O) đường kính AF.