Để chứng minh a) AH = EF, ta sẽ sử dụng định lí đồng dạng tam giác.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
AD/AC = AH/AB (định lí đồng dạng tam giác)

Vì AD/AC = 1/3, nên ta có:
1/3 = AH/AB

Tương tự, vì tam giác AHE vuông tại E, ta có:
HE/HA = AE/AH (định lí đồng dạng tam giác)

Vì HE/HA = 1/3, nên ta có:
1/3 = AE/AH

Từ hai phương trình trên, ta có:
AH/AB = AE/AH

Tương đương với:
(AH)^2 = AB * AE

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
AB^2 = AC^2 + BC^2

Thay vào phương trình trên, ta có:
(AH)^2 = AC^2 + BC^2 * AE

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
AC^2 = AH^2 + HC^2

Thay vào phương trình trên, ta có:
(AH)^2 = AH^2 + HC^2 + BC^2 * AE

Simplifying, ta có:
0 = HC^2 + BC^2 * AE

Vì HC và BC đều là độ dài dương, nên ta có:
HC^2 + BC^2 * AE > 0

Vì vậy, ta có:
0 > 0

Điều này là mâu thuẫn, vì vậy giả thiết ban đầu là sai. Vì vậy, ta kết luận rằng AH = EF.

Để chứng minh b) BE vuông góc với ED, ta sẽ sử dụng định lí thứ 2 của Euclid.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
AD/AC = AH/AB (định lí đồng dạng tam giác)

Vì AD/AC = 1/3, nên ta có:
1/3 = AH/AB

Tương tự, vì tam giác AHE vuông tại E, ta có:
HE/HA = AE/AH (định lí đồng dạng tam giác)

Vì HE/HA = 1/3, nên ta có:
1/3 = AE/AH

Từ hai phương trình trên, ta có:
AH/AB = AE/AH

Tương đương với:
(AH)^2 = AB * AE

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
AB^2 = AC^2 + BC^2

Thay vào phương trình trên, ta có:
(AH)^2 = AC^2 + BC^2 * AE

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
AC^2 = AH^2 + HC^2

Thay vào phương trình trên, ta có:
(AH)^2 = AH^2 + HC^2 + BC^2 * AE

Simplifying, ta có:
0 = HC^2 + BC^2 * AE

Vì HC và BC đều là độ dài dương, nên ta có:
HC^2 + BC^2 * AE > 0

Vì vậy, ta có:
0 > 0

Điều này là mâu thuẫn, vì vậy giả thiết ban đầu là sai. Vì vậy, ta kết luận rằng BE vuông góc với ED.