Tìm MaxS biết S=√(a^2+ab+b^2)+√(b^2+bc+c^2)+√(a^2+ac+c^2)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
(a^2 + ab + b^2)(1 + 1 + 1) ≥ (√(a^2 + ab + b^2) + √(b^2 + bc + c^2) + √(a^2 + ac + c^2))^2
=> 3(a^2 + ab + b^2) ≥ (√(a^2 + ab + b^2) + √(b^2 + bc + c^2) + √(a^2 + ac + c^2))^2

Tương tự, ta có:
3(b^2 + bc + c^2) ≥ (√(a^2 + ab + b^2) + √(b^2 + bc + c^2) + √(a^2 + ac + c^2))^2
3(a^2 + ac + c^2) ≥ (√(a^2 + ab + b^2) + √(b^2 + bc + c^2) + √(a^2 + ac + c^2))^2

Tổng cộng 3 bất đẳng thức trên, ta có:
9(a^2 + ab + b^2 + b^2 + bc + c^2 + a^2 + ac + c^2) ≥ 3(√(a^2 + ab + b^2) + √(b^2 + bc + c^2) + √(a^2 + ac + c^2))^2
=> 3(a^2 + ab + b^2 + b^2 + bc + c^2 + a^2 + ac + c^2) ≥ (√(a^2 + ab + b^2) + √(b^2 + bc + c^2) + √(a^2 + ac + c^2))^2

Do đó, S = √(a^2 + ab + b^2) + √(b^2 + bc + c^2) + √(a^2 + ac + c^2) ≤ √(3(a^2 + ab + b^2 + b^2 + bc + c^2 + a^2 + ac + c^2))
= √(3(2(a^2 + b^2 + c^2) + ab + bc + ac))
= √(6(a^2 + b^2 + c^2) + 3(ab + bc + ac))

Vì a + b + c = 6, nên (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac)
=> a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ac) = 36 - 2(ab + bc + ac)

Do đó, S ≤ √(6(36 - 2(ab + bc + ac)) + 3(ab + bc + ac))
= √(216 - 12(ab + bc + ac) + 3(ab + bc + ac))
= √(216 - 9(ab + bc + ac))
= √(9(24 - (ab + bc + ac)))
= 3√(24 - (ab + bc + ac))

Vì a + b + c = 6, nên ab + bc + ac ≤ (a + b + c)^2 = 36
=> 24 - (ab + bc + ac) ≥ 24 - 36 = -12
=> 3√(24 - (ab + bc + ac)) ≥ 3√(-12) = 3√12

Vậy, S ≤ 3√12.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2.

Vậy, MaxS = 3√12.