a) Để chứng minh tứ giác ABDC là hình bình hành, ta cần chứng minh hai đường thẳng AD và BC song song.
Vì tam giác ABC cân ở A, nên AG là đường cao của tam giác.
Do đó, G là trọng tâm của tam giác ABC, tức là AG = 2/3 xGD.
Từ C kẻ đường thẳng Cx // AB.
Khi đó, theo tính chất của các cặp góc tương đồng: AGD = ADC (góc nội tiếp trên cùng)
AGC = ADB (góc nội tiếp trên cùng)
Vì AD // GC và AG = 2/3 x GD, ta có: ADC / GDC = AGD / GDC = AGC / BDC => ADC = BDC
Do đó, tứ giác ABDC có hai cặp góc liền kề bằng nhau (ADC và BCD), vậy tứ giác ABDC là hình bình hành.
b) Từ câu a), ta đã biết rằng tứ giác ABDC là hình bình hành.
Trên cạnh AB lấy điểm M bất kì.
Khi đó Mx // BC và My // AD.
Theo tính chất của các cặp góc tương đồng: MNC = ACB (gốc ngoại tiếp)
MQD = DAB (gốc ngoại tiếp)
Vì MN // BC và AD // MQ, ta có: MNC / QDC = ACB / DAB = MNC / QDC => MNC = QDC
Từ đó, tứ giác MNPQ có hai cặp góc liền kề bằng nhau (MNC và QCD), vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.