Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của x.

Đặt A = x(x+1) + x + 30.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của x(x+1) và x.

Đối với x(x+1), ta có thể sử dụng định lý delta để tìm giá trị nhỏ nhất. Định lý delta cho biết rằng nếu một hàm bậc hai ax^2 + bx + c có delta âm, thì hàm đó đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm cực tiểu của đồ thị.

Trong trường hợp này, a = 1, b = 1 và c = 0. Áp dụng công thức delta = b^2 - 4ac, ta có:

delta = 1^2 - 4(1)(0) = 1 - 0 = 1.

Vì delta dương, nên hàm x(x+1) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm cực tiểu của đồ thị. Điểm cực tiểu của đồ thị là điểm mà đạo hàm của hàm số bằng 0.

Đạo hàm của hàm số x(x+1) là 2x + 1. Để tìm điểm mà đạo hàm bằng 0, ta giải phương trình 2x + 1 = 0:

2x + 1 = 0
2x = -1
x = -1/2.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của x(x+1) là -1/2.

Tiếp theo, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của x. Vì không có ràng buộc nào đặt ra cho x, nên giá trị nhỏ nhất của x là âm vô cùng.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -∞.