Để chứng minh tam giác OAO' vuông tại A, ta cần chứng minh OA vuông góc với AO'.

Vì OA và OA' là các bán kính của đường tròn (O) và (O'), nên OA và OA' đều vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc.

Gọi M là điểm tiếp xúc của đường tròn (O) và (O'). Khi đó, ta có:

OM = R - R' = 4 - 3 = 1 cm.

Vì OO' = 5 cm, nên O'M = OO' - OM = 5 - 1 = 4 cm.

Do đó, tam giác O'MA là tam giác vuông tại M.

Vì OA' vuông góc với tiếp tuyến tại M, nên OA' cũng vuông góc với tiếp tuyến tại M.

Vậy, ta có tam giác OAO' vuông tại A.

Tiếp theo, ta cần chứng minh AO' và AO là các tiếp tuyến của (O) và (O').

Vì OA' vuông góc với tiếp tuyến tại M, nên OA' là tiếp tuyến của đường tròn (O').

Tương tự, ta có OA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Vậy, ta đã chứng minh được AO' và AO là các tiếp tuyến của (O) và (O').