Chứng minh tính chất đảo của tính chất đường trung bình của tam giác và hình thang

Để chứng minh tính chất đảo của tính chất đường trung bình của tam giác và hình thang, ta cần chứng minh rằng nếu một đường trung bình của tam giác hoặc hình thang chia một cạnh thành hai phần có tỉ lệ bằng với tỉ lệ của các cạnh tương ứng của tam giác hoặc hình thang, thì đường trung bình đó sẽ chia các cạnh còn lại thành hai phần có tỉ lệ bằng nhau.

Giả sử ta có tam giác ABC và đường trung bình AD chia cạnh BC thành hai phần có tỉ lệ bằng với tỉ lệ của các cạnh AB và AC, tức là:

BD/DC = AB/AC

Ta cần chứng minh rằng đường trung bình AD cũng chia các cạnh AB và AC thành hai phần có tỉ lệ bằng nhau, tức là:

BD/DA = AD/DC

Để chứng minh điều này, ta sử dụng định lí đồng dạng tam giác:

Nếu hai tam giác có các cặp góc tương ứng bằng nhau, thì tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác đó cũng bằng nhau.

Trong tam giác ABC, ta có:

∠BDA = ∠BAC (do AD là đường trung bình)

∠ADB = ∠ACB (do AD là đường trung bình)

Do đó, tam giác ADB và tam giác ABC đồng dạng theo định lí đồng dạng tam giác.

Từ đó, ta có:

BD/DA = AB/AC

Và do ta đã biết:

BD/DC = AB/AC

Từ hai phương trình trên, ta có:

BD/DA = BD/DC

Từ đó, ta suy ra:

BD/DA = AD/DC

Vậy, ta đã chứng minh được tính chất đảo của tính chất đường trung bình của tam giác.

Tương tự, ta cũng có thể chứng minh tính chất đảo của tính chất đường trung bình của hình thang bằng cách sử dụng định lí đồng dạng tam giác và các phép biến đổi tương tự như trên.

Tóm lại, tính chất đảo của tính chất đường trung bình của tam giác và hình thang đã được chứng minh.