Vẽ đường tròn (K;KD). Chứng minh CA và CB là các tiếp tuyến của (K;KB)

a, Để vẽ đường tròn (K;KD), ta cần biết tọa độ của điểm K và độ dài KD.

Gọi I là giao điểm của đường phân giác của góc BAx và góc BAy. Ta có:
- Đường phân giác của góc BAx cắt đường phân giác của góc BAy tại K, nên K nằm trên đường phân giác của góc BAx và góc BAy.
- Góc BAx và góc BAy đều là góc nhọn, nên đường phân giác của chúng cắt nhau tại một điểm duy nhất I.

Vậy ta có tam giác BAI là tam giác đều, suy ra AI = AB = AC.

Gọi M là trung điểm của AB. Ta có AM = MB = AC/2.

Vì tam giác BAI là tam giác đều, nên góc BAI = 60 độ. Vậy góc BAI = góc BAC/2 = 30 độ.

Gọi x là góc BAI. Ta có góc BIA = 180 - 2x.

Gọi y là góc BAy. Ta có góc BAI = góc BAC/2 = y/2.

Vậy góc BIA = 180 - 2y.

Vì góc BIA = góc BAI, nên 180 - 2x = 180 - 2y.

Suy ra x = y.

Vậy góc BAI = góc BAy.

Vậy K nằm trên đường phân giác của góc BAx và góc BAy.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của K lên AB. Ta có KH vuông góc với AB.

Vì K nằm trên đường phân giác của góc BAx, nên KH cắt đường phân giác của góc BAx tại I.

Vậy KH = HI.

Vì AI = AB = AC, nên tam giác AIC là tam giác đều.

Vậy góc AIC = 60 độ.

Vậy góc KIH = 90 - góc AIC/2 = 90 - 30 = 60 độ.

Vậy tam giác KIH là tam giác đều.

Vậy KH = KI = HI.

Vậy tam giác KHI là tam giác đều.

Vậy KI = KH = HI = KD.

Vậy K là trung điểm của HD.

Vậy tọa độ của K là (xK, yK) = (xH + xD)/2, (yH + yD)/2.

b, Để chứng minh CA và CB là các tiếp tuyến của (K;KB), ta cần chứng minh góc KCA = góc KCB.

Gọi E là giao điểm của đường phân giác của góc BAC và đường phân giác của góc ABC.

Ta có góc KCA = góc KCE - góc ACE.

Vì K nằm trên đường phân giác của góc BAx, nên góc KCE = góc BAC/2.

Vì K nằm trên đường phân giác của góc BAy, nên góc ACE = góc ABC/2.

Vậy góc KCA = góc BAC/2 - góc ABC/2 = góc BAC - góc ABC/2.

Tương tự, ta có góc KCB = góc BCA - góc BAC/2.

Vậy góc KCA - góc KCB = (góc BAC - góc ABC/2) - (góc BCA - góc BAC/2) = góc BAC/2 - góc ABC/2 = góc KCE - góc ACE = 0.

Vậy góc KCA = góc KCB.

Vậy CA và CB là các tiếp tuyến của (K;KB).