Chứng minh rằng giao điểm của 2 đường thẳng (d1) (d2) thuộc 1 điểm cố định khi m thay đổi

Để chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) thuộc một điểm cố định khi m thay đổi, ta cần chứng minh rằng hệ phương trình của hai đường thẳng luôn có một nghiệm duy nhất.

Đầu tiên, ta giải hệ phương trình của hai đường thẳng (d1) và (d2):

(d1): y = (m+2)x - m + 1
(d2): x + (m+2)y = m + 2

Để giải hệ phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp đặt hệ số hoặc phương pháp Cramer.

Sử dụng phương pháp đặt hệ số, ta thay y trong phương trình (d2) bằng (m+2)x - m + 1:

x + (m+2)((m+2)x - m + 1) = m + 2
x + (m+2)(m+2)x - (m+2)m + (m+2) = m + 2
x + (m+2)^2x - (m+2)m + (m+2) = m + 2
(m+2)^2x + x - (m+2)m + (m+2) = m + 2
(m+2)^2x + x - (m+2)m + (m+2) - (m + 2) = 0
(m+2)^2x + x - (m+2)m = 0
(m+2)^2x + x - m^2 - 2m = 0
(m^2 + 4m + 4)x + x - m^2 - 2m = 0
(m^2 + 4m + 4 + 1)x - m^2 - 2m = 0
(m^2 + 4m + 5)x - m^2 - 2m = 0
(m^2 + 4m + 5)x = m^2 + 2m
x = (m^2 + 2m)/(m^2 + 4m + 5)

Thay x vào phương trình (d1), ta có:

y = (m+2)((m^2 + 2m)/(m^2 + 4m + 5)) - m + 1
y = (m^3 + 4m^2 + 4m)/(m^2 + 4m + 5) - m + 1
y = (m^3 + 4m^2 + 4m - (m^3 + 4m^2 + 5m - m^2 - 4m - 5))/(m^2 + 4m + 5)
y = (m^3 + 4m^2 + 4m - m^3 - 4m^2 - 5m + m^2 + 4m + 5)/(m^2 + 4m + 5)
y = (5)/(m^2 + 4m + 5)

Vậy, ta đã tìm được nghiệm duy nhất của hệ phương trình (d1) và (d2) là (x, y) = ((m^2 + 2m)/(m^2 + 4m + 5), 5/(m^2 + 4m + 5)).

Do đó, giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) thuộc một điểm cố định khi m thay đổi.