Chứng minh: BH.AB = BI.BC

a) Ta có:
- Trong tam giác ABC, theo định lí hình chiếu, ta có BH = BK.cosB và BI = BK.cosC.
- Vì tam giác ABC nhọn nên cosB > 0 và cosC > 0.
- Ta có AB = AC.cosB và BC = AC.cosC.
- Từ đó, ta có BH.AB = BK.cosB.AC.cosB = BK.AC.cos²B và BI.BC = BK.cosC.AC.cosC = BK.AC.cos²C.
- Vì cosB.cos²C = cos²B.cosC, nên BH.AB = BI.BC.

b) Ta có:
- Trong tam giác ABC, theo định lí hình chiếu, ta có BH = BK.cosB và BI = BK.cosC.
- Vì tam giác ABC nhọn nên cosB > 0 và cosC > 0.
- Ta có BH = BI, nên cosB = cosC.
- Từ đó, ta có BỊ = BIC = 90° - B/2 = 90° - C/2.
- Ta có tanC = BC/BI = BC/(BK.cosC) = BC/(BK.sinB) (do cosB = cosC).
- Từ đó, ta có BỊ = CI².tan²C.