Để tìm m để tam giác OAB có diện tích bằng 1/2, ta cần tìm điểm cắt của đường thẳng d với trục Ox và trục Oy.

1. Tìm điểm cắt của d với trục Ox:
Để tìm điểm cắt của d với trục Ox, ta đặt y = 0 và giải phương trình:
0 = (m+2)x + 2
(m+2)x = -2
x = -2/(m+2)

2. Tìm điểm cắt của d với trục Oy:
Để tìm điểm cắt của d với trục Oy, ta đặt x = 0 và giải phương trình:
y = (m+2)(0) + 2
y = 2

Vậy điểm A có tọa độ là (-2/(m+2), 0) và điểm B có tọa độ là (0, 2).

Để tìm m để tam giác OAB có diện tích bằng 1/2, ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác:
Diện tích tam giác OAB = 1/2 * |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)|
= 1/2 * |(-2/(m+2))(2-0) + (0)(0-2) + (0-(-2/(m+2)))(0-2)|
= 1/2 * |-4/(m+2) + 4/(m+2)|
= 1/2 * 0
= 0

Vậy không có giá trị m nào thỏa mãn điều kiện diện tích tam giác OAB = 1/2.

Để tìm m để khoảng cách từ O đến đường thẳng d là √2, ta sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Khoảng cách từ điểm (x0, y0) đến đường thẳng Ax + By + C = 0 là: d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)

Trong trường hợp này, đường thẳng d có phương trình (m+2)x - y + 2 = 0. Điểm O có tọa độ (0, 0).

Khoảng cách từ O đến d là: d = |(m+2)(0) - (0) + 2| / √((m+2)^2 + (-1)^2)
= |2| / √(m^2 + 4m + 4 + 1)
= 2 / √(m^2 + 4m + 5)

Để d = √2, ta có:
2 / √(m^2 + 4m + 5) = √2
4 / (m^2 + 4m + 5) = 2
2 = m^2 + 4m + 5
m^2 + 4m + 3 = 0

Giải phương trình trên ta được hai giá trị m: m = -1 và m = -3.

Vậy để tam giác OAB có diện tích bằng 1/2, không có giá trị m nào thỏa mãn.
Để khoảng cách từ O đến d là √2, có hai giá trị m: m = -1 và m = -3.
Điểm cố định mà đường thẳng d luôn đi qua với mọi m là điểm (-2, 2).