Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành khối.

Đặt x + y = a, ta có:
x^2 - xy + x + y + 5 = 0
⇔ x^2 - xy + x + y + 5 - a = 0
⇔ x^2 - (a-1)x + (a+5) = 0

Để phương trình trên có nghiệm nguyên, ta cần xác định giá trị của a sao cho phương trình trên có nghiệm nguyên.

Theo định lý Viète, tổng các nghiệm của phương trình x^2 - (a-1)x + (a+5) = 0 là a-1 và -(a+5).

Vì x là số nguyên, nên a-1 và -(a+5) cũng phải là số nguyên.

Ta có các trường hợp sau:
1. a-1 và -(a+5) đều là số nguyên dương.
Khi đó, ta có hệ phương trình:
a - 1 > 0
-(a + 5) > 0
Giải hệ phương trình này, ta được a > 1 và a < -5.
Tuy nhiên, không có giá trị a thỏa mãn cả hai điều kiện này.

2. a-1 và -(a+5) đều là số nguyên âm.
Khi đó, ta có hệ phương trình:
a - 1 < 0
-(a + 5) < 0
Giải hệ phương trình này, ta được a < 1 và a > -5.
Tuy nhiên, không có giá trị a thỏa mãn cả hai điều kiện này.

3. a-1 là số nguyên âm và -(a+5) là số nguyên dương.
Khi đó, ta có hệ phương trình:
a - 1 < 0
-(a + 5) > 0
Giải hệ phương trình này, ta được a < 1 và a < -5.
Từ đó, ta có -5 < a < 1.
Vậy, ta có các giá trị của a là -4, -3, -2, -1, 0.

Dựa vào các giá trị của a, ta tính được các giá trị của x và y:
- Khi a = -4, ta có x + y = -4 và x^2 - xy + x + y + 5 = 0. Giải hệ phương trình này, ta được x = -3 và y = -1.
- Khi a = -3, ta có x + y = -3 và x^2 - xy + x + y + 5 = 0. Giải hệ phương trình này, ta được x = -2 và y = -1.
- Khi a = -2, ta có x + y = -2 và x^2 - xy + x + y + 5 = 0. Giải hệ phương trình này, ta được x = -1 và y = -1.
- Khi a = -1, ta có x + y = -1 và x^2 - xy + x + y + 5 = 0. Giải hệ phương trình này, ta được x = 0 và y = -1.
- Khi a = 0, ta có x + y = 0 và x^2 - xy + x + y + 5 = 0. Giải hệ phương trình này, ta được x = -1 và y = 1.

Vậy, các nghiệm nguyên của phương trình là (x, y) = (-3, -1), (-2, -1), (-1, -1), (0, -1), (-1, 1).